Высота, медиана и биссектриса треугольника

1. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 6,5. Найдите катеты треугольника, если сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 18.
2. В треугольнике стороны равны 4, 6 и 8. Найдите длину медианы, проведенной к большей стороне.
3. Биссектриса прямоугольного треугольника делит катет на отрезки, равные 25 и 24. Найдите гипотенузу треугольника.
4. В прямоугольном треугольнике с катетами, равными 18 и 24, из вершины большего острого угла проведена биссектриса. Найдите проекцию биссектрисы на больший катет.
5. В равнобедренном треугольнике основание равно 1, а высота, опущенная на основание, равна \(\sqrt{2}\). Найдите расстояние от середины основания до боковой стороны.
6. В равнобедренном треугольнике основание равно 4, медианы боковых сторон взаимно перпендикулярны. Найдите площадь треугольника.
7. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС медиана AD перпендикулярна биссектрисе СЕ. Найдите косинус угла АСВ.
8. Медианы треугольника равны 5, 6 и 5. Найдите площадь этого треугольника.
9. Найдите отношение суммы квадратов медиан треугольника к сумме квадратов его сторон.
10. Площадь треугольника АВС равна 12. Из вершины тупого угла В проведена медиана BD, равная 3. Найдите сторону АС, если известно, что угол ABD прямой.
11. В треугольнике стороны равны 3, 5 и 6. Найдите биссектрису наименьшего угла треугольника.
12. В треугольнике ABC известно, что АВ = 3, АС = 5 и угол ВАС равен 120^о. Найдите биссектрису BD.
13. Биссектриса угла В треугольника АВС пересекает сторону АС в точке D. Найдите AB, если AD = 12, DC = 27 и BD = 24.
14. Дан треугольник ABC, в котором AC = 5, AB = 6, BC = 7. Биссектриса угла С пересекает сторону АВ в точке D. Определите площадь треугольника ADC.
15. В треугольнике ABC проведены биссектрисы BD и AE. Найдите отношение площадей треугольников BDE и ABC, если AB = 5, BC = 8 и AC = 7.
16. В треугольнике точка пересечения биссектрис удалена от прямой, содержащей одну из сторон, на 1,5. Найдите площадь треугольника, если его периметр равен 16.
17. В треугольнике АВС медиана AD и биссектриса ВЕ пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВС, если AD перпендикулярно ВЕ и площадь треугольника АОЕ равна 2.
18. В треугольнике АВС проведена высота АН. Прямые, одна из которых содержит медиану ВК, а вторая – биссектрису ВЕ, делят высоту на три равных отрезка. Найдите АС, если АВ равно 4.
19. Даны стороны треугольника ВС = 15, АС = 14 и АВ = 13. Найдите площадь треугольника, ограниченного высотой и биссектрисой, проведенными из вершины В.
20. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
21. На высоте AH треугольника ABC взята точка M. Докажите, что  AB² – AC² = MB² – MC².