XIV Олимпиада по криптографии и математике
список всех олимпиад по криптографии и математике
Задача 14.1.
Числа, расположенные в клетках таблицы, указывают, сколько соседних по горизонтали, вертикали и диагонали клеток (включая ту, в которой находится само число) картинку, которой соответствуют эти числа. 
Задача 14.2.
Кодовая комбинация сейфа устанавливается на внутренней стороне дверцы с помощью трех дисков. Каждый из них может быть установлен в одно из 20 положений, пронумерованных числами от 0 до 19, поворотом по часовой стрелке. В начальный момент диски установлены в положение (0; 0; 0). За положение с номером 19 диск не поворачивается. При повороте каждого диска на одно положение раздается щелчок.
Сравните число возможных кодовых комбинаций, при установке которых раздается 33, 32, 25 щелчков.
Задача 14.3.
На фирме работают P служащих. В гараже фирмы имеется B автомобилей. Каждый служащий имеет ключи от t автомобилей, причем ключи от разных автомобилей разные. (Будем говорить, что каждый служащий «владеет» i автомобилями.) Каждой машиной «владеют» ровно s служащих. При этом наборы ключей любых двух служащих содержат не более одного одинакового ключа. Известно также, что если служащий x не «владеет» автомобилем L, то из всех «владельцев» автомобиля L только у одного есть в наборе такой же ключ, как у служащего x.
Выразите числа P, B, а также общее количество ключей, имеющихся у служащих, через s и t. Числа s и t целые, большие 1.
Задача 14.4.
Разложите на простые множители \(2^{22}+39\cdot2^{10}+81\)
Задача 14.5.
Для зашифрования текста v1v2…vk на русском языке каждую его букву vi заменили числом ti согласно таблице 
К каждому числу ti последовательности t1,t2,…,tk прибавили число ai последовательности a1,a2,…,ak, заданной соотношениями a1 = 1, an+1 = 3an +4 при n > 0. Затем остаток от деления каждой суммы ti + ai на 33 вновь заменили буквой по той же таблице. При переписывании зашифрованного текста несколько букв были пропущены. В результате получилось вот что:
Р Ч Ж Ь Э Т С Ъ Й Л Ж Ъ Я О Ш К С
Найдите исходный текст.
Задача 14.6.
Имеется клетчатая бумага неограниченных размеров со стороной клетки, равной 1. Шаблоном размера k называется всякая плоская фигура, составленная путем соединения концами друг с другом k параллельных или перпендикулярных отрезков длины 1. Если существует отрезок длины 0,5, полностью размещаемый на шаблоне, то точки шаблона, общие с точками между концами этого отрезка, называются внутренними.
Найдите все шаблоны, которыми можно покрыть все линии клетчатой бумаги (шаблоны можно поворачивать и переворачивать). При покрытии разрешается использовать шаблоны одного вида, причем никакие два шаблона не могут иметь общих внутренних точек.
а) k = 2;
б) k = 3.