- Найдите промежутки возрастания, убывания и точки экстремума функции $$y=x^3-\frac{3}{2}x^2-6x+4$$.
- Найдите промежутки возрастания, убывания и точки экстремума функции $$y=x^2e^{-x}$$.
- Найдите интервалы монотонности функции $$y=\frac{1-x+x^2}{1+x+x^2}$$.
- Найдите экстремумы функции $$y=(x^2-2x)\ln x-\frac{3}{2}x^2+4x$$.
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$f(x)=3x-x^3$$ на отрезке $$[-2;3]$$.
- Найдите высоту конуса наименьшего объема, описанного около полушара радиусом $$R$$ таким образом, что центр основания конуса совпадает с центром шара. Ответ: $$R\sqrt{3}$$
- Даны точки A = (0;3) и B = (4;5). Найдите на оси Ох точку M такую, чтобы S = AM + MB было наименьшим.
- На окружности радиуса 2 дана точка А. Хорда BC проведена параллельно касательной к окружности в точке А так, что площадь треугольника ABC наибольшая. Найдите расстояние от точки А до хорды BC.
- Найдите высоту конуса наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом $$R$$. Ответ: $$4R/3$$
- Докажите, что $$\sin^6 x+\cos^6 x +0.75\sin^2 2x=1$$.
- Найдите угол, под которым пересекаются графики функций $$x^2+y^2=8ax$$ и $$y^2=\frac{x}{2a-x}$$.
- Составьте уравнения всех общих касательных к графикам функций $$y=x^2+4x+8$$ и $$y=x^2+8x+4$$.
- Найдите приближенное значение выражения $$\sqrt[10]{1000}$$.
- Найдите приближенное значение выражения $$arctg 0.01$$.
- Определите значения коэффициентов $$p$$ и $$q$$, при которых парабола $$y=x^2+px+q$$ касается прямых $$y=5x+1$$ и $$y=-x-2$$.
- Докажите, что при $$0<x\leq 4$$ справедливо неравенство $$x^2\leq 6x-4\ln x$$.
- Найдите точки перегиба, интервалы выпуклости функции $$y=x^3-5x^2+3x-5$$.
- Найдите точки перегиба, интервалы выпуклости функции $$y=(x+2)^6+2x+2$$.
- При каких значениях $$a$$ и $$b$$ точка $$(1;3)$$ будет точкой перегиба функции $$y=ax^3+bx^2$$?
- Проведите полное исследование функции $$y=\frac{x^3}{2(x+1)^2}$$.
- Проведите полное исследование функции $$y=\frac{8x}{(x-2)^2}$$ и постройте ее график.
- Проведите полное исследование функции $$y=\ln (x^2-1)+\frac{1}{x^2-1}$$ и постройте ее график.