Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите частное и остаток от деления многочлена $$x^5+5x^3+6$$ на многочлен $$x^2+2x+3$$.
2. При каких значениях параметров $$p$$, $$q$$ и $$m$$ многочлен $$x^3+px+q$$ делится на $$x^2+mx-1$$?
3. Некоторый многочлен при делении на $$x-1$$ дает остаток 3, а при делении на $$x-2$$ дает остаток 4. Найдите остаток от деления такого многочлена на $$x^2-3x+2$$.
4. Найдите рациональные корни многочлена $$24x^5+10x^4-x^3-19x^2-5x+6$$.
5. Найдите наибольший общий делитель многочленов $$x^4+x^3-3x^2-4x-1$$ и $$x^3+x^2-x-1$$.
6. Найдите сумму коэффициентов многочлена $$(1+2x-4x^2)^{248}(1-7x+5x^2)^{345}$$
7. Определите кратность корня, равного -2, многочлена $$x^5+7x^4+16x^3+8x^2-16x-16$$.
8. Найдите многочлен $$P(x)$$ наименьшей степени такой, что $$P(1)=5$$, $$P(2)=6$$, $$P(3)=1$$, $$P(4)=-4$$ и $$P(6)=10$$.
9. Представьте многочлен $$-7x^3+18×62-12x$$ в виде суммы кубов двух линейных функций.
10. Докажите, что многочлен $$x^{2n}-nx^{n+1}+nx^{n-1}-1$$ при $$n>1$$ имеет корень кратности 3.
11. Найдите сумму квадратов корней уравнения $$x^3+4x^2-x-6=0$$.
12. Найдите все многочлены, которые удовлетворяют тождеству $$x\cdot P(x-1)=(x-26)\cdot P(x)$$
13. Существует ли многочлен $$P(x)$$ с целыми коэффициентами такой, что $$P(1)=19$$ и $$P(19)=85$$?