Вступительный экзамен в ШАД 31 мая 2015
Вступительный экзамен в Школу анализа данных
31 мая 2015
Условия задач
- Квадратная матрица \(A\) такова, что \(tr(AX)=0\) для любой матрицы \(X\), имеющей нулевой след. Докажите, что матрица \(A\) является скалярной (то есть имеет вид \(\lambda E\) для некоторого скаляра \(\lambda\)).
- Придя на письменный экзамен в ШАД, студенты поняли, что среди любых четырех человек хотя бы один уже знаком с тремя оставшимися. Докажите, что в этом случае среди любых четверых человек хотя бы один уже знаком со всеми остальными студентами.
- На окружности выбираются две случайные точки A и B. Найдите математическое ожидание площади меньшего из сегментов, на которые хорда AB разбирает круг.
- Дан массив из n целых чисел. Предложите алгоритм, сортирующий их по остатку при делении на 5 за время O(n) (в каком порядке будут расположены числа, имеющие один и тот же остаток, неважно). Ограничение по дополнительной памяти – O(1).
- Исследуйте на сходимость и абсолютную сходимость ряд \(\sum_{n=1}^{\infty}\sin(\pi\sqrt{n^2+1})\)
- У вас имеется неограниченное число костей в форме всех возможных правильных многогранников. Можно ли, однократно бросив некоторый набор таких костей, симулировать бросок (а) правильной семигранной кости? (б) правильной 15-гранной кости?
- Пусть A и B – квадратные вещественные матрицы одного и того же размера. Докажите, что \(det(E-AB)=det(E-BA)\).
- За столом сидят \(n\) старателей, перед каждым из которых находится кучка золотого песка. Каждую минуту происходит следующее: по общей команде каждый из них перекладывает в свою кучку половину песка из кучки левого соседа и половину – из кучки правого соседа. Опишите асимптотическое поведение кучек (а) при n=3; (б) при произвольном n.
смотрите еще Контрольная работа от Яндекс, март 2015 г. и Задачи вступительных экзаменов