Вступительный экзамен в ШАД 2014

Вступительный экзамен в Школу анализа данных
8 июня 2014

Экзамен длится 4 часа

Условия задач

1. Пусть \(A\) – невырожденная вещественная матрица \(nxn\), все элементы которой положительны. Докажите, что число нулей среди элементов матрицы \(A^{-1}\) не превосходит \(n^2-2n\).
2. Трое игроков по очереди вынимают от 1 до \(m\) (\(m>1\)) камней из кучи (количество камней в куче им изначально известно). Игрок, вынувший последний камень, проигрывает. Докажите, что если изначально куча была достаточно велика, то любые два игрока, договорившись, сумеют привести третьего к проигрышу.
3. Найдите предел последовательности (\(c_n\)), определяемой рекуррентным соотношением \(c_{n+1}=(1-\frac{1}{n})\cdot c_n+\beta_n\), где (\(\beta_n\)) – любая последовательность со свойством \(n^2\beta_n \rightarrow 0\) при \(n\rightarrow\infty\).
4. Отрезок \([0;1]\) разбит двумя случайными точками на три части. Найдите математическое ожидание длины меньшей из частей.
5. Предложите алгоритм, находящий значения \(P(n+1),P(n+2),…,P(2n)\) неизвестного многочлена \(n\)-й степени \(P(x)\), если даны его значения \(P(0),P(1),…,P(n)\). Ограничение по времени – \(O(n^2)\).
6. Вычислите интеграл \(\int e^{e^x+2014x}dx\).
7. Когда студент пришел в аудиторию, на доске было написано число 0. В ожидании лекции студент подкидывает монетку и, если выпадает орел, он прибавляет к числу 1, а если решка – то вычитает 1. Орел и решка выпадают с равной вероятностью. Найдите вероятность того, что на момент после \((2n+1)\)-го подбрасывания число на доске сменило знак (с положительного на отрицательный или наоборот) (а) ровно \(n\) раз; (б) ни разу.
8. При каких натуральных \(N\) существует квадратная матрица порядка \(N\) с элементами 0, 1 такая, что ее квадрат – это матрица из одних единиц?

Все материалы для подготовки

смотрите еще Контрольная работа от Яндекс, март 2015 г. и Задачи вступительных экзаменов