Вступительный экзамен в ШАД 2017

Вступительный экзамен в Школу анализа данных
27 мая 2017

Условия задач

1. За время обучения в ШАД Михаил 20 раз решал задачи классификации. В каждой задаче он использовал ансамбль из пяти различных классификаторов, причем никакую пару классификаторов он не применял более одного раза. Каково минимально возможное число известных Михаилу классификаторов?
2. Существует ли скалярное произведение на пространстве матриц n x n (n>1), относительно которого матрица из всех единиц была бы ортогональна любой верхнетреугольной матрице?
3. Найдите сумму \(\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\displaystyle\frac{(k+1)^2}{k!}\).
4. Вася поставил учиться две нейронные сети, каждую на своем GPU, и отправился спать. Времена обучения сетей независимы и равномерно распределены на отрезке [1;3] (часов). Через время \(t\) сервер упал и оказалось, что лишь одна сеть успела доучиться. С какой вероятностью \(t\le\displaystyle\frac{3}{2}\)? Считайте, что время падения сервера тоже равномерно распределено на отрезке [1;3].
5. Докажите, что для произвольного \(a_0\in(0;2\pi)\) последовательность, заданная условием \(a_{n+1}=\int_{0}^{a_n}(1+\displaystyle\frac{1}{4}\cos^{2n+1}t)dt\),имеет предел и найдите его.
6. Пусть \(X\) – случайная величина, принимающая значения на отрезке [0;1]. Пусть также \(m\) – медиана \(X\). Рассмотрим бинеризацию этой величины \(\beta(X)=1\) при \(X\ge m\), иначе равно 0. Верно ли, что дисперсия \(\beta(X)\) не меньше дисперсии \(X\)? А если \(X\) непрерывна? Под медианой здесь имеется в виду число \(m\), для которого \(P\{X\le m\}=P\{X\ge m\}\).
7. Все числа от 1 до \(n=2^k-1\) записаны неизвестным нам образом в полном бинарном дереве высоты \(k\). Будем говорить, что число \(t\) лежит между числами \(i\) и \(j\) в этом дереве, если при удалении \(t\) из дерева \(i\) и \(j\) оказываются в разных компонентах. Предложите алгоритм, определяющий, что за число находится в корне дерева, за O(nlogn) операций с помощью запросов вида “Лежит ли \(t\) между \(i\) и \(j\)?”.
8. В пространстве \(R[x,y]\) многочленов с действительными коэффициентами от переменных \(x\) и \(y\) действует оператор \(y\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}+x\frac{\partial}{\partial y}\). а) Докажите, что каждое целое число является его собственным значением. б) Найдите все его собственные значения. Является ли он диагонализируемым?

Все материалы для подготовки

смотрите еще Контрольная работа от Яндекс, март 2015 г. и Задачи вступительных экзаменов