Вступительный экзамен в ШАД 2013 год
Вступительный экзамен в Школу анализа данных
2013 год
Экзамен длится 4 часа
Условия задач
- Рассмотрим функцию \(\psi(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{1}{2^{2[log_2k]}}x^k\), где квадратные скобки означают целую часть числа. Найдите \(\int_0^1\psi(x)\psi'(x)dx\).
- Петя и Вася подбрасывают правильную монетку (вероятность выпадения орла равна 0.5). Петя подбрасывает ее n раз, а Вася – n+1. Найдите вероятность того, что у Васи орлов выпало больше, чем у Пети.
- Определим последовательность \(x_n\) начальными условиями \(x_1=a\), \(x_2=b\) и рекуррентной формулой \(x_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}(x_n+x_{n+1})\). Найдите \(\lim_{n\to\infty}x_n\).
- Найдите математическое ожидание числа неподвижных точек для случайной перестановки на \(n\) элементах.
- Верно ли, что rank(AB) = rank(BA) для любых квадратных матриц A и B?
- Есть круговая трасса, на которой в некоторых местах стоят бензоколонки. Расстояния между ними и количество бензина на каждой бензоколонке известны. Имеется также машина с постоянным и известным расходом топлива. Предложите алгоритм за O(n) по времени (n – количество бензоколонок), который позволяет найти ту бензоколонку, начиная с которой можно проехать всю трассу, или сказать, что такой нет.
смотрите еще Контрольная работа от Яндекс, март 2015 г. и Задачи вступительных экзаменов