Вступительный экзамен в ШАД 2017

Вступительный экзамен в Школу анализа данных
20 мая 2017

Условия задач

1. Верно ли, что если матрица \(A\in Mat_n(R)\) симметрична и положительна определена, то квадратичная форма \(q(X)=tr(X^TAX)\) на пространстве \(Mat_n(R)\) будет положительно определенной?
2. Известно, что \(a_0+\displaystyle\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+…+\frac{a_n}{n+1}=0\). Докажите, что многочлен \(a_0+a_1x+a_2x^2+…+a_nx^n\) имеет хотя бы один действительный корень.
3. Пусть \(X_1,…,X_n\) – независимые одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием \(a\) и дисперсией \(\sigma^2\), принимающие положительные значения. Пусть также \(m<n\). Найдите математическое ожидание отношения \(\displaystyle\frac{X_1+…+X_m}{X_1+…+X_n}\).
4. Черный куб покрасили снаружи белой краской, затем разрезали на 27 одинаковых маленьких кубиков и как попало сложили из них большой куб. С какой вероятностью все грани этого куба будут белыми?
5. Придумайте структуру для хранения действительных чисел, которая могла бы выполнять запросы “добавить элемент”, “удалить элемент”, “удалить максимальный элемент” и “удалить минимальный элемент”, причем последние два выполняла бы за время O(1). Постарайтесь также минимизировать время выполнения первых двух запросов. Можно ли сделать так, чтобы и они тоже выполнялись за время O(1)?
6. Последовательность \(a_n\) задана условиями \(a_1=1\), \(a_{n+1}=\sin(a_n)\). Сходится ли ряд \(\sum_{i=1}^{\infty}a_i\)?
7. Назовем матрицу вращательной, если при повороте на 90^о вокруг центра она не меняется. а) Докажите, что для любого набора чисел \(\lambda_1,…,\lambda_k\in R\) найдется \(n\in N\) и вращательная матрица n x n, для которой \(\lambda_1,…,\lambda_k\) являются собственными значениями; б) Докажите, что у вращательной матрицы с действительными коэффициентами все собственные векторы \(v\) с отличными от нуля действительными собственными значениями симметричны (то есть \(v_i=v_{n-i+1}\)).
8. В неориентированном графе без петель и кратных ребер \(2n\) вершин и \(n^2+1\) ребро. Треугольником в графе называется фигура, состоящая из трех вершин и трех соединяющих их ребер. Докажите, что в этом графе найдутся два треугольника с общим ребром.

Все материалы для подготовки

смотрите еще Контрольная работа от Яндекс, март 2015 г. и Задачи вступительных экзаменов