Вступительный экзамен в ШАД 2014
Вступительный экзамен в Школу анализа данных
1 июня 2014
Экзамен длится 4 часа
Условия задач
- Пусть \(M\subseteq R\) – множество из \(n\) элементов. Пусть, далее, \(S_M=\){\(\frac{x+y}{2}|x,y\in M, x\ne y\)}. Найдите наименьшую возможную мощность множества \(S_M\) (одинаковые элементы множества считаются одним элементом).
- На окружности выбираются 3 случайные точки. С какой вероятностью центр окружности лежит внутри треугольника с вершинами в этих точках?
- Квадратная матрица \(A\) размера 9×9 над полем характеристики, отличной от 2, такова, что \(A^2=E\). Найдите ранг матрицы \(E-A\), если известно, что ранг матрицы \(E+A\) равен 7.
- В полукруге есть \(n\) неизвестных нам точек. Разрешается задавать вопросы вида “каково расстояние от точки \(X\) до ближайшей из этих точек?”. Если расстояние оказывается нулевым, то точка считается угаданной. Докажите, что хотя бы одну из этих точек можно угадать не более чем за \(2n+1\) вопрос.
- Найдите предел \(\lim_{\lambda\to+0}\displaystyle\frac{1}{\ln\lambda}\int_{\lambda}^{a}\frac{\cos x}{x}dx\)
- Пусть \(A\) и \(B\) – квадратные матрицы размера 2х2. Рассмотрим линейный оператор \(F\) на пространстве матриц 2×2, действующий по правилу \(F(M)=A\cdot M\cdot B\). Матрица \(A\) имеет 2 различных собственных значения \(\lambda_1\) и \(\lambda_2\), а \(B\) – 2 различных собственных значения \(\mu_1\) и \(\mu_2\). Найдите собственные значения оператора \(F\), если (а) матрицы \(A\) и \(B\) – диагональные; (б) матрицы \(A\) и \(B\) – произвольные.
- Квадратная матрица nxn заполнена натуральными числами. Предложите алгоритм, находящий два элемента этой матрицы, не лежащих ни в одной строке, ни в одном столбце, с максимально возможным произведением. Ограничение по времени – \(O(n^2)\), по памяти – \(O(n)\).
- Игральную кость с \(n\) гранями (и числами от 1 до \(n\) на этих гранях) подбрасывают до тех пор, пока сумма выпавших очков не станет больше или равна \(n\). Все грани кости выпадают с одинаковой вероятностью. Найдите математическое ожидание числа бросков.
смотрите еще Контрольная работа от Яндекс, март 2015 г. и Задачи вступительных экзаменов