Всероссийская олимпиада школьников

2016-2017

Заключительный этап

10 классы

1. На координатной плоскости нарисованы графики двух приведённых квадратных трёхчленов и две непараллельные прямые ℓ1 и ℓ2. Известно, что отрезки, высекаемые графиками на ℓ1, равны, и отрезки, высекаемые графиками на ℓ2, также равны. Докажите, что графики трёхчленов совпадают.
2. Остроугольный равнобедренный треугольник ABC (AB = AC) вписан в окружность с центром в точке O. Лучи BO и CO пересекают стороны AC и AB в точках B′ и C′ соответственно. Через точку C′ проведена прямая ℓ, параллельная прямой AC. Докажите, что прямая ℓ касается окружности, описанной около треугольника B′OC.
3. Изначально на столе лежат три кучки из 100, 101 и 102 камней соответственно. Илья и Костя играют в следующую игру. За один ход каждый из них может взять себе один камень из любой кучи, кроме той, из которой он брал камень на своем предыдущем ходе (на своём первом ходе каждый игрок может брать камень из любой кучки). Ходы игроки делают по очереди, начинает Илья. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может выиграть, как бы ни играл соперник?
4. На доске выписаны в ряд n положительных чисел a₁, a₂, . . . , a_n. Вася хочет выписать под каждым числом a_i число b_i \(\ge\) a_i так, чтобы для любых двух из чисел b₁, b₂, . . . , b_n отношение одного из них к другому было целым. Докажите, что Вася может выписать требуемые числа так, чтобы выполнялось неравенство \(b_1b_2…b_n\le 2^{(n-1)/2}a_1a_2…a_n\).
5. На доску выписали все собственные делители некоторого составного натурального числа n, увеличенные на 1. Найдите все такие числа n, для которых числа на доске окажутся всеми собственными делителями некоторого натурального числа m. (Собственными делителями натурального числа a > 1 называются все его натуральные делители, отличные от a и от 1.)
6. Пусть \(P(x)\) — многочлен степени \(n\ge2\) с неотрицательными коэффициентами, а a, b и c — длины сторон некоторого остроугольного треугольника. Докажите, что числа \(\sqrt[n]{P(a)}\), \(\sqrt[n]{P(b)}\) и \(\sqrt[n]{P(c)}\) также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.
7. Каждая клетка доски 100 × 100 окрашена либо в чёрный, либо в белый цвет, причём все клетки, примыкающие к границе доски — чёрные. Оказалось, что нигде на доске нет одноцветного клетчатого квадрата 2 × 2. Докажите, что на доске найдётся клетчатый квадрат 2 × 2, клетки которого окрашены в шахматном порядке.
8. Каждая клетка доски 100 × 100 окрашена либо в чёрный, либо в белый цвет, причём все клетки, примыкающие к границе доски — чёрные. Оказалось, что нигде на доске нет одноцветного клетчатого квадрата 2 × 2. Докажите, что на
   доске найдётся клетчатый квадрат 2 × 2, клетки которого окрашены в шахматном порядке.

11 классы

1. Число x таково, что обе суммы S = sin 64x + sin 65x и C = cos 64x+cos 65x — рациональные числа. Докажите, что в одной из этих сумм оба слагаемых рациональны.
2. Остроугольный равнобедренный треугольник ABC (AB = AC) вписан в окружность с центром в точке O. Лучи BO и CO пересекают стороны AC и AB в точках B′ и C′ соответственно. Через точку C′ проведена прямая ℓ, параллельная прямой AC. Докажите, что прямая ℓ касается окружности, описанной около треугольника B′OC.
3. www.itmathrepetitor.ru На доске выписаны в ряд n положительных чисел a₁, a₂, . . . , a_n. Вася хочет выписать под каждым числом a_i число b_i \(\ge\) a_i так, чтобы для любых двух из чисел b₁, b₂, . . . , b_n отношение одного из них к другому было целым. Докажите, что Вася может выписать требуемые числа так, чтобы выполнялось неравенство \(b_1b_2…b_n\le 2^{(n-1)/2}a_1a_2…a_n\).
4. У фокусника и помощника есть колода с картами; одна сторона («рубашка») у всех карт одинакова, а другая окрашена в один из 2017 цветов (в колоде по 1000000 карт каждого цвета). Фокусник и помощник собираются показать следующий фокус. Фокусник выходит из зала, а зрители выкладывают на стол в ряд n > 1 карт рубашками вниз. Помощник смотрит на эти карты, а затем все, кроме одной, переворачивает рубашкой вверх, не меняя их порядка. Затем входит фокусник, смотрит на стол, указывает на одну из закрытых карт и называет её цвет. При каком наименьшем n фокусник может заранее договориться с помощником так, чтобы фокус гарантированно удался?
5. Пусть P(x) — многочлен степени n \(\ge\) 2 с неотрицательными коэффициентами, а a, b и c — длины сторон некоторого треугольника. Докажите, что числа \(\sqrt[n]{P(a)}\), \(\sqrt[n]{P(b)}\) и \(\sqrt[n]{P(c)}\) также являются длинами сторон некоторого треугольника.
6. В некоторых клетках квадрата 200 × 200 стоит по одной фишке — красной или синей; остальные клетки пусты. Одна фишка видит другую, если они находятся в одной строке или одном столбце. Известно, что каждая фишка видит ровно пять фишек другого цвета (и, возможно, некоторое количество фишек своего цвета). Найдите наибольшее возможное количество фишек, стоящих в клетках.
7. Изначально на доске написано натуральное число N. В любой момент Миша может выбрать число a > 1 на доске, стереть его и дописать все натуральные делители a, кроме него самого (на доске могут появляться одинаковые числа). Через некоторое время оказалось, что на доске написано N² чисел. При каких N это могло случиться?
8. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Обозначим через I_A, I_B, I_C и I_D центры окружностей ω_A, ω_B, ω_C и ω_D, вписанных в треугольники DAB, ABC, BCD и CDA соответственно. Оказалось, что ∠BI_AA + ∠I_CI_AI_D = 180◦. Докажите, что ∠BI_BA + ∠I_CI_BI_D = 180◦.

Олимпиады для школьников