Урок 37. Логические задачи. Необходимость и достаточность

Домашнее задание из В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”

1. Изобразите на плоскости все точки (x; y) такие, что выражение \(\sin^2 (t+x)+\sin (t+y)+\sin (t+2x-y)+\frac{1}{4}\) положительно для любого t.
2. Изобразите на плоскости все точки (x; y), для которых существует хотя бы одно t, такое, что выражение \(\cos (t+3x+y)-\cos (t+x-y)-\sin^2 (t+2x)\) больше 1/4.
3. При каких \(a\) минимум функции \(f(x)=x^2+2|x+a-1|+(a+1)^2\) меньше трех?
4. При каких \(a\) и \(b\) каждое решение уравнения \((\frac{x+y}{x-y})^2=a\) удовлетворяет уравнению \(\frac{x}{y}=b\)?
5. При каких \(a\) и \(b\) каждая пара (x; y) (где \(x,y\ne\pi/2+n\pi, n\in Z\)), удовлетворяющая уравнению \(x+y=a\), удовлетворяет уравнению \(tg x+tg y+tg x\cdot tg y = b\)?
6. При каких  \(a\) системы \(\left\{\begin{array}{l l} \sin (x+y)=0,\\ x^2+y^2=a \end{array}\right.\) и \(\left\{\begin{array}{l l} x+y=0,\\ x^2+y^2=a \end{array}\right.\)равносильны?
7. При каких \(a\) система \(\left\{\begin{array}{l l} ax^2+a-1=y-|\sin x|,\\ tg^2 x+y^2=1\end{array}\right.\) имеет единственное решение?
8. Найдите все \(a\), при которых система \(\left\{\begin{array}{l l} 2^{bx}+(a+1)by^2=a^2,\\ (a-1)x^3+y^3=1 \end{array}\right.\) имеет решение для любого \(b\).
9. Найдите все \(a\) и \(b\) такие, что система \(\left\{\begin{array}{l l} |\frac{x^y-1}{x^y+1}|=a,\\ x^2+y^2=b\end{array}\right.\) имеет единственное решение \((x_0; y_0) \) такое, что \(x_0>0\).
10. Найдите все \(a\) и \(b\) такие, что система \(\left\{\begin{array}{l l} xyz+z=a,\\ xyz^2+z=b,\\ x^2+y^2+z^2=4 \end{array}\right.\) имеет единственное решение.
11. Найдите все \(a\), при которых система \(\left\{\begin{array}{l l} (x^2+1)^a+(b^2+1)^y=2,\\ a+bxy+x^2y=1 \end{array}\right.\) имеет решение для любого \(b\).
12. При каких \(a\) система \(\left\{\begin{array}{l l} x^y=a,\\ arctg x=\pi/4+y \end{array}\right.\) имеет единственное решение \((x_0; y_))\), где \(x_0>0\)?
13. Найдите все \(a\), при которых система \(\left\{\begin{array}{l l} x^3-ay^3=\frac{1}{2}(a+1)^2,\\ x^3+ax^2y+xy^2=1 \end{array}\right.\) имеет решение и каждое ее решение удовлетворяет условию \(x+y=0\).
14. При каких \(a\) система \(\left\{\begin{array}{l l} \frac{x}{y}+\sin x=a,\\ \frac{y}{x}+\sin y=a \end{array}\right.\) имеет единственное решение \((x_0; y_0)\) такое, что \(0\leq x_0\leq 2\pi\), \(0\leq y_0\leq 2\pi\)?
15. Дана система \(\left\{\begin{array}{l l} a^x+a^y=\frac{1}{2},\\ x+y=b^2+1 \end{array}\right.\). При каких \(a\) и \(b\) система имеет хотя бы одно решение?
16. Дана система \(\left\{\begin{array}{l l} a^x+a^y=\frac{1}{2},\\ x+y=b^2+1 \end{array}\right.\). При каких \(a\) и \(b\) система имеет единственное решение?
17. Дана система \(\left\{\begin{array}{l l} a^x+a^y=\frac{1}{2},\\ x+y=b^2+1 \end{array}\right.\). При каких \(a\) система имеет решение для любого b?
18. При каких \(a\) уравнения \(\sin 3x=a\sin x+(4-2|a|)\sin^2 x\) и \(\sin 3x+\cos 2x=1+2\sin x\cos 2x\) равносильны?
19. [3] При каких \(a\) уравнение \(1+\sin^2 ax=\cos x\) имеет единственное решение?
20. При каких \(a, b\) и \(c\) уравнения \(xy-yz=1\) и \(axy+byz+c\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2+2+\sqrt{x^2+1}}\) равносильны?
21. При каких \(a\) для любого \(b\) найдется \(c\) такое, что система  \(\left\{\begin{array}{l l} bx-y=ac^2,\\ (b-6)x+2by=c+1 \end{array}\right.\) имеет хотя бы одно решение?
22. Дана система уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} \sin x \sin y=p\sin\alpha,\\ \cos x\cos y=p\cos\alpha \end{array}\right.\). Найдите все p такие, что найдется \(\alpha\), при котором система имеет решения.
23. Найдите все p такие, что система \(\left\{\begin{array}{l l} \sin x \sin y=p\sin\alpha,\\ \cos x\cos y=p\cos\alpha \end{array}\right.\) имеет решения для любого \(\alpha\).
24. При каких \(a\) уравнение \(x-\frac{a}{2}=4|4|x|-a^2|\) имеет ровно три корня ? Найдите эти корни.
25. Для каждого \(a\geq 0\) решите неравенство \(a^3x^4+2a^2x^2-8x+a+4\geq 0\).
26. Найдите все \(b\), при которых оба неравенства системы  \(\left\{\begin{array}{l l} 2b\sin^2 (x+y)+b>4b^3\sin (x+y)+b^3,\\ x^2+(b^4+1)y^2+b>2xy \end{array}\right.\) выполняются при любых х и y.
27. При каких \(a\) система \(\left\{\begin{array}{l l} |12\sqrt{\cos\frac{\pi y}{2}}-5|-|12\sqrt{\cos\frac{\pi y}{2}}-7|+|24\sqrt{\cos\frac{\pi y}{2}}+13|=11-\sqrt{\sin\frac{\pi (x-2y-1)}{3}},\\ 2(x^2+(y-a)^2)-1=2\sqrt{x^2+(y-a)^2-\frac{3}{4}} \end{array}\right.\) имеет хотя бы одно решение?

Ответы к домашнему заданию урока 37 из В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”

1. \(\pi/3+n\pi+x<y<2\pi/3+n\pi+x, n\in Z\)
2. \(-\pi/6+n\pi<x+y<\pi/6+n\pi, n\in Z\)
3. \(-1<a<1/\sqrt{2}\)
4. a=0, b=-1
5. \(\pi/4+n\pi, n\in Z, b= 1\)
6. \(a<\pi^2/2\)
7. 2
8. -1
9. \(a=0, 0<b\leq 1\)
10. a=b=-2
11. a=1
12. a=1
13. \(a=\pm 1\)
14. a=0, a=2
15. при \(a^{b^2+1}\leq 1/16\)
16. при \(a^{b^2+1}=1/16\)
17. \(0<a\leq 1/16\)
18. \(a=3, a=4, 0\leq a<1, a>5\)
19. при иррациональных а
20. a=1, b=-1, c=1
21. [-1/12; 1/8]
22. [-1;1]
23. \(-1/\sqrt{2}\leq p\leq 1/\sqrt{2}\)
24. если a =  -2, то \(x_1=-1, x_2=15/17, x_3=17/15\); если а = -1/8, то \(x_1=0, x_2=-1/136, x_3=1/120\)
25. если а = 0, то \((-\infty; 1/2]\); если 0<a<1, то \((-\infty; (1-\sqrt{1-a})/a]\cup [(1+\sqrt{1-a})/a; +\infty)\); если \(a\geq 1\), то \((-\infty;\infty)\)
26. \(0<b<1/\sqrt{2}\)
27. a=6n-1, a=6k+3, a=6p, a=6m+2, k,p,m,n \(\in \) Z