Урок 38. [3] Более сложные логические задачи
Домашнее задание из В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”
- Найдите все \(a\), при которых уравнение \(((2x+a)\sqrt{22a-4a^2-24}-2(x^2+x)\lg a)\cdot\lg \frac{36a-9a^2}{35}=0\) имеет по крайней мере два корня, один из которых \(\geq 0\), а другой \(\leq -1\).
- Найдите все \(a\), при которых система \(\left\{\begin{array}{l l} \sin x\sin y=\frac{1}{z^2},\\ \cos x\cos y=-\frac{(x+y)^2}{(a-\pi)^2},\\ \sin (x-y)=\frac{2(x+y)}{(a-\pi)z} \end{array}\right.\) имеет ровно одно решение, удовлетворяющее условиям \(0\leq y \leq \pi/2\) и \(z>0\).
- Даны системы \(\left\{\begin{array}{l l} x+2y=2-a,\\ -x+ay=a-2a^2 \end{array}\right.\) и \(\left\{\begin{array}{l l} x^2-y^4-4x+3=0,\\ 2x^2+y^2+(a^2+2a-11)x+12-6a=0 \end{array}\right.\). При каких \(a\) они равносильны?
- При каких \(a\) система \(\left\{\begin{array}{l l} 3y+2+xy=0,\\ x(y+1-a)+y(2a-3)+a+3=0 \end{array}\right.\) имеет единственное решение?
- При каких \(a\) неравенство \(|3\sin^2 x+2a\sin x\cos x+\cos^2 x+a|\leq 3\) выполнено для любого \(x\)?
- Найдите все \(a\), при которых система \(\left\{\begin{array}{l l} 9x^2-6xy+y^2+6x-13y+3=0,\\ 13x^2+6xy+10y^2+16x+2y-4ax-6ay+a^2-2a+3=0 \end{array}\right.\) имеет хотя бы одно решение.
- Найдите все \(a\), при которых неравенство \(-\frac{1}{2}|a+3||x+a+6|+(|a+3|-\displaystyle\frac{a^2+6a+8}{|a+3|}-\frac{1}{2}|a+3||x-a|)\cdot |x+3| \geq -2\)выполняется ровно для двух значений \(x\).
- При каких \(a\) уравнение \(\sqrt{a+\sqrt{a+\sin x}}=\sin x\) имеет решение?
- При каких \(a\) система \(\left\{\begin{array}{l l} y(ax+1)+13x-a(1+y)=0,\\ x-xy+|2+y|=0\end{array}\right.\) имеет решения?
- При каких \(a\) ровно одно решение неравенства \(\sqrt{(a+3)(a^2+a-6)}\cdot x^3-\sqrt{a^4+a^3-6a^2}\cdot x^2\) \(+\sqrt{a^3+3a^2}\cdot x-a^2\leq 0\) удовлетворяет условию \(1\leq x\leq 4+a\)?
- При каком \(b\) система неравенств \(\left\{\begin{array}{l l} y\geq (x-b)^2,\\ x\geq (y-b)^2 \end{array}\right.\) имеет единственное решение?
- Найдите все числа \(c\) и \(d\), для которых наибольшее значение функции \(y(x)=|4\cdot\displaystyle\frac{3^x+3^{-x}-2}{3^x+3^{-x}+2}+(c+2s)\cdot 2\cdot\displaystyle\frac{3^x-1}{3^x+1}+2c+d|\) на отрезке [-1; 1] является наименьшим.
- Найдите все \(a\), при которых система \(\left\{\begin{array}{l l} 1-\sqrt{|x-1|}=\sqrt{7|y|},\\ 49y^2+x^2+4a=2x-1\end{array}\right.\) имеет ровно четыре решения.
- Найдите все пары (a;b), для которых система \(\left\{\begin{array}{l l} x^2-y^2+a(x+y)=x-y+a,\\ x^2+y^2+bxy-1=0\end{array}\right.\) имеет не менее пяти решений (x; y).
- Найдите все \(b\) такие, что система \(\left\{\begin{array}{l l} 2x^2-2xy+10y^2=b^4-6b^3+9b^2-19+\sqrt{85},\\ x^2+2xy-3y^2=4\end{array}\right.\) имеет хотя бы одно решение.
- Найдите все \(b\in [-1;1]\) такие, что выражение \(1-\sqrt{4x^2+4bxy+y^2+8y+18}\) принимает наибольшее значение лишь при одной паре (x; y).
- При каких \(a\) уравнение \((a^2-6a+9)(2+2\sin x-\cos^2 x)+(12a-18-2a^2)(1+\sin x)+a+3=0\) не имеет решений?
- При каких \(a\) уравнение \(\log_{1/\pi}\displaystyle\frac{a^2+4\pi^2+4}{4x-x^2-2(a-2\pi )|x-2|+4\pi a}\) \(-\sqrt{(x-5a+10\pi-34)(|\pi-x|-a+\pi+2)}=0\) имеет хотя бы одно целочисленное решение?
- Найдите все \(b\), при которых система уравнений \(\left\{\begin{array}{l l} \cos (y-b)-2\cos x=0,\\ \log_2 (by-y^2)=2\log_4 (-x)-\log_{1/2} (3y)\end{array}\right.\) имеет нечетное число решений.
- Найдите все \(x\geq 0\), при которых из неравенств \(abx\geq 2a+9b+x\), \(a\geq 0, b\geq 0\) следует неравенство \(ab\geq 4\).
- Найдите все \(a\), при которых наименьшее значение квадратного трехчлена \(4x^2-4ax+a^2-2a+2\) на отрезке [0; 2] равно 3.
- При каких p уравнение \((x-p)^2(p(x-p)^2-p-1)=-1\) имеет больше положительных корней, чем отрицательных?
- При каких \(\alpha\ne 0\) количество пар (x; y) целых чисел таких, что \(|y|\leq \displaystyle\frac{\alpha^2-x^2}{\alpha^3}\) минимально?
- При каких \(a\) число решений уравнения \(4x+x^3=(4^a-0,5)\sqrt{15-3^{5a}}-(2a+1)^2\cdot 4^x\) меньше числа решений уравнения \(a^2(2y+a^2-1)=y(3y-1)\)?
Ответы к домашнему заданию урока 38 из В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”
- {3/2}U{5/3}U[2;4)
- \([-2\pi;0)\cup (2\pi; 4\pi]\)
- -2; -1
- 1; 3; 11/12
- [-12/5; 0]
- \([2/3-\sqrt{2}; 2/3+\sqrt{2}]\)
- \(-3\pm\sqrt{3}\)
- [-1/4; 0]
- \(a\leq -10, a>1/2\)
- \(-3; (1+\sqrt{13})/2\)
- -1/4
- -1/3; 1/6
- -1/4; -1/32
- \(a\in (-\infty; +\infty), b=2; a=\pm 1, b=-2\)
- \(b\leq -1, b\geq 4\)
- [-1/3; 1/3]
- \(a<-3, 1<a<6\)
- \(2\pi-8, 2\pi-1, 2\pi\)
- \((6m+3/2)\pi <b\leq (6m+9/2)\pi, m\in Z, m\geq 0\)
- \(0<x\leq 4\sqrt{2}\)
- \(1-\sqrt{2}; 5+\sqrt{10}\)
- \(p\geq 1\)
- (1/2; 1) U (1;2)
- \(a\leq (\log_315)/5, a\ne -1/2\)