Урок 33. Геометрические места точек

Домашнее задание из В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”

1. Найдите ГМТ середин всех отрезков, проведенных из данной точки к различным точкам данной прямой.
2. Найдите ГМТ, из которых касательные, проведенные к данной окружности, равны данному отрезку.
3. Найдите ГМТ, для которых сумма квадратов расстояний до двух данных точек есть величина постоянная.
4. Найдите ГМТ середин всевозможных отрезков с концами на двух данных отрезках.
5. Дан прямоугольник ABCD. Найдите ГМТ М таких, что \(AM^2+CM^2=BM^2+DM^2\).
6. Даны различные точки А и В. Окружности касаются прямой АВ в точках А и В и друг друга в точке М. Найдите ГМТ М.
7. Даны отрезки АВ и CD. Найдите ГМТ М таких, что площадь треугольника АВМ равна площади треугольника CMD.
8. Найдите ГМТ середин отрезков, соединяющих данную точку вне данной окружности с точками этой окружности.
9. [2] Три прямые попарно пересекаются, но не проходят через общую точку. Найдите геометрическое место центров окружностей, описанных около всевозможных треугольников с вершинами на данных прямых.
10. Даны точки А и В. Найдите ГМТ М таких, что \(AM\cdot BM\cdot\cos (\angle AMB)=3AB^2/4\).
11. Даны точки А и В, расстояние между которыми равно единице. Найдите ГМТ, расстояния от которых до точек А и В равны целым числам.
12. [2] Дано множества трапеций ABCD (AD параллельно BC), у которых фиксированы вершины А и D и длины сторон AB и BC. Найдите ГМТ, являющихся пересечением диагоналей таких трапеций.
13. Дан квадрат ABCD. Найдите геометрическое место середин сторон квадратов, вписанных в данный квадрат.
14. Дан остроугольный треугольник ABC. Найдите геометрическое место центров прямоугольников, одна из сторон которых лежит на стороне АС и по одной вершине на сторонах АВ и ВС.
15. [2] На окружности фиксированы точки А и В. Найдите геометрическое место пересечений высот треугольников ABC, когда точка С пробегает все точки окружности, кроме А и В.
16. [2] На окружности фиксированы точки А и В. Найдите геометрическое место пересечений биссектрис треугольников АВС, когда точка С пробегает все точки окружности, кроме А и В.
17. [2] На окружности фиксированы точки А и В. Найдите геометрическое место пересечений медиан треугольников АВС, когда точка С пробегает все точки окружности, кроме А и В.
18. На окружности фиксирована точка А. Найдите ГМТ, делящих хорды с концом А в отношении 2:1, считая от точки А.
19. Пусть А и В – фиксированные точки плоскости. Найдите ГМТ С таких что высота треугольника АВС, опущенная из точки В, равна данному числу b.
20. Точки A, B и С лежат на одной прямой, причем В находится между А и С. Найдите ГМТ М таких,  что радиусы описанных окружностей треугольников AMB и CMB равны.

Ответы к домашнему заданию урока 33 из В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”