Урок 32. Многоугольники

Домашнее задание из В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”

1. В выпуклом четырехугольнике ABCD углы ABD и ACD равна \(\pi/2\). Известно, что AD = 2, расстояние от точки пересечения биссектрис в треугольнике ABD до точки пересечения биссектрис в треугольнике ACD равно \(\sqrt{2}\). Найдите длину стороны BC.
2. Известно, что в выпуклом четырехугольнике ABCD угол ACD равен 60^о, AD = 7, BC = 3. Точки A, B, C, D лежат на одной окружности. Перпендикуляр из точки А на прямую CD делит угол BAD пополам. Найдите длину диагонали AC.
3. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Продолжение стороны AB за точку B пересекает продолжение стороны DC за точку C в точке E. Известно, что AB = 2, BD = \(2\sqrt{6}\), CD = 5, BE:EC=4:3. Найдите угол BAD.
4. В выпуклом четырехугольнике NPQM сторона NP равна b. Точка А лежит на стороне PQ, а точка B – на стороне NM. Отрезок AB разбивает четырехугольник NPQM на два четырехугольника, в каждый из которых можно вписать окружность. Известно, что разность периметров четырехугольников BAQM и ABNP равна 2p. Найдите сторону MQ.
5. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Площади треугольников BOC, COD и AOD равны соответственно 20, 40 и 60. Кроме того, AO = 8, AB = 15, угол BOA больше 31^о. Найдите угол BAO.
6. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке Е. Площади треугольников ABE и DCE равны 1, а площадь четырехугольника ABCD не превосходит 4. Найдите BC, если AD = 3.
7. В выпуклом четырехугольнике ABCD имеем AB = 3, BD = \(\sqrt{7}\), причем угол BCD равен 120^о. Кроме того,. площадь четырехугольника ABCD равна (AB\(\cdot\)CD+BC\(\cdot\)AD)/2. Найдите длину стороны AD.
8. В окружность радиуса 7 вписан четырехугольник ABCD, для которого AB = BC,  S_ABD=2S_BCD, угол ADC равен 120^о. Найдите все стороны четырехугольника ABCD.
9. В выпуклом четырехугольнике ABCD биссектриса угла ABC пересекает сторону AD в точке M, AM = 2MD. Перпендикуляр, опущенный из вершины А на прямую BC, делит отрезок BC пополам. Найдите все стороны и площадь четырехугольника ABCD, если его периметр равен \(5+\sqrt{3}\), угол BAD прямой и угол ABC равен 60^о.
10. В окружность радиуса 2 вписан правильный шестиугольник ABCDEF. Из точки К, лежащей на продолжении AF (KA<KF), KA = \(\sqrt{11}-1\), проведена секущая KH, пересекающая окружность в точках N и H. Ее внешняя часть KN равна 2, и угол NFH тупой. Найдите угол HKF.
11. Выразите сторону правильного десятиугольника через радиус описанной окружности.
12. Один правильный шестиугольник вписан в окружность, другой описан около нее. Найдите радиус окружности, если разность их периметров равна а.
13. В круг радиуса R вписан шестиугольник ABCDEF. Известно, что углы BAF, BCD, DEF равны, AB = a, CD = b, EF = c. Найдите площадь шестиугольника.
14. Найдите площадь пятиугольника, ограниченного прямыми BC, CD, AN и MA, где A, B, D – три вершины квадрата ABCD со стороной а, N – середина BC, точка M лежит на стороне CD, причем CM:MD=2:1.
15. Правильный шестиугольник ABCDEK вписан в окружность радиуса R. Найдите радиус круга, вписанного в треугольник ACD.
16. Пятиугольник ABCDE вписан в окружность, причем BD параллельно AE, угол CAE в два раза больше угла CEA, угол CBD на \(a\) градусов превосходит угол CDB. Для треугольника ACE найдите отношение радиуса вписанной окружности к периметру.
17. Семиугольник A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇ вписан в окружность, центр которой лежит внутри него. Докажите, что сумму углов A₁, A₃, A₅ меньше 450^о.
18. В правильном шестиугольнике со стороной 5 на одной из сторон взята точка А на расстоянии 1 от ближайшей вершины шестиугольника. Найдите расстояние от точки А до центра шестиугольника.
19. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Точки А₁, B₁, C₁, D₁, E₁, F₁ лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD, DE, EF, FA. Сторона шестиугольника равна а, причем AA₁=A₁B, B₁C=2BB₁, C₁D=3CC₁, D₁E=4DD₁, E₁F=5EE₁, F₁A=6FF₁. Найдите площадь шестиугольника A₁B₁C₁D₁E₁F₁.
20. [3] Прямая проходит через центр правильного n-угольника. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин многоугольника до этой прямой не зависит от выбора прямой (проходящей через центр) и найдите эту сумму.

Ответы к домашнему заданию урока 32 из В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”

1. \(\sqrt{3}\)
2. 4
3. \(\pi-\arccos(1/4)\)
4. p+b
5. 30^o
6. 3
7. 1 или 2
8. AB = BC = \(7\sqrt{3}\), CD = \(\sqrt{21}\), AD = \(2\sqrt{21}\)
9. AB = BC = 2, CD = 1, AD = \(\sqrt{3}\), \(S_{ABCD}=3\sqrt{3}/2\)
10. \(\arccos\sqrt{11/14}-\arccos\sqrt{7/(2\sqrt{14})}\)
11. \(2R\cos (2\pi/5)=(\sqrt{5}-1)/2\)
12. \((2\sqrt{3}+3)a/6\)
13. \(\sqrt{3}(a\sqrt{12R^2-3a^2}+b\sqrt{12R^2-b^2}\) \(+c\sqrt{12R^2-c^2}+6R^2-a^2-b^2-c^2)/8\)
14. \(3a^2/8\)
15. \(R(\sqrt{3}-1)/2\)
16. \(1/(2(\sin a+\sin 2x+\sin 3x))\)
18. \(\sqrt{21}\)
19. \(189\sqrt{3}a^2/140\)
20. \(nR^2/2\)