Урок 36. Расположение корней квадратного трехчлена

Домашнее задание из В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”

1. Найдите все значения $$a$$, при которых квадратный трехчлен $$p(x)=(a^2-1)x^2+2(a-1)x+1$$ положителен при всех $$x$$.
2. При каких $$a$$ оба корня уравнения $$(2-a)x^2-3ax+2a=0$$ больше 1/2?
3. При каких $$a$$ оба корня уравнения $$(2+a)x^2-2ax+3a=0$$ положительны?
4. При каких $$a$$ оба корня уравнения $$x^2+4ax+1-2a+4a^2=0$$ меньше -1?
5. При каких $$a$$ один из корней уравнения $$(a^2+a+1)x^2+(2a-3)x+a-5=0$$ больше 1, а другой меньше 1?
6. Существуют ли такие $$a$$, что корни уравнения $$x^2+2x+a=0$$ различны и лежат между -1 и 1?
7. При каких $$a$$ оба корня уравнения $$ax^2-(a+1)x+2=0$$ по модулю меньше 1?
8. При каких $$a$$ оба корня уравнения $$x^2-ax+2=0$$ лежат на интервале (0; 3)?
9. При каких $$m$$ неравенство $$x^2+mx+m^2+6m<0$$ выполняется при всех $$x\in (1;2)$$?
10. При каких $$m$$ неравенство $$mx^2-4x+3m+1>0$$ выполнено при всех $$x>0$$?
11. При каких $$a$$ неравенство $$(a-1)x^2+(2a-3)x+a-3>0$$ выполнено хотя бы при одном $$x<1$$?
12. Найти все $$a$$, при которых оба корня уравнения $$x^2+x+a=0$$ больше $$a$$.
13. При каких $$m$$ из неравенства $$x^2-(3m+1)x+m>0$$ следует, что $$x>1$$?
14. При каких $$p$$ уравнение $$\sin^2 x+p\sin x=p^2-1$$ имеет решения?
15. При каких $$m\in (-1;1)$$ уравнение $$4^{\sin x}+m\cdot 2^{\sin x}+m^2-1=0$$ имеет решения?
16. Существуют ли $$a$$ такие, что неравенство $$4^{|\cos x|}+2(2a+1)\cdot 2^{|\cos x|}+4a^2-3<0$$ выполнено при всех $$x$$?
17. При каких $$a$$ из неравенства $$ax^2-x+1-a<0$$ следует неравенство $$0<x<1$$?
18. Найти все $$a$$ такие, что если $$x$$ удовлетворяет неравенству $$ax^2+(1-a^2)x-a>0$$, то $$|x|\leq 2$$.
19. Найти все $$a$$, при которых из неравенства $$x^2-a(1+a^2)+a^4<0$$ следует неравенство $$x^2+4x+3>0$$.
20. При каких $$a$$ неравенство $$\sin^6 x+\cos^6 x+a\sin x\cos x\geq 0$$ выполнено для всех $$x$$?
21. При каких $$a$$ уравнение $$(1+a)(\frac{x^2}{1+x^2})^2-3a\cdot\frac{x^2}{x^2+1}+4a=0$$ имеет корни?
22. Для каждого $$a$$ решите уравнение $$x+\sqrt{x}=a$$.
23. Для каждого $$a$$ решите уравнение $$(\frac{1+x}{\sqrt{x}})^2+2a\cdot\frac{1+x}{\sqrt{x}}+1=0$$.
24. При каких $$y$$ неравенство $$2\log_{1/2}y^2-3+2x\log_{1/2}y^2-x^2>0$$ имеет решения?
25. Для каждого $$a$$ решите уравнение $$\sqrt{a(2^x-2)+1}=1-2^x$$.

Ответы к домашнему заданию урока 36 из В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”

1. $$a\geq 1$$
2. $$16/17\leq a<2$$
3. $$-3\leq a<-2$$
4. a>1
5. $$-2-\sqrt{11}<a<-2+\sqrt{11}$$
6. таких а не существует
7. $$a\geq 3+2\sqrt{2}$$
8. $$2\sqrt{2}\leq a<11/3$$
9. $$(-7-\sqrt{45})/2\leq m\leq -4+2\sqrt{3}$$
10. m>1
11. a>3/4
12. a<-2
13. ни при каких
14. $$p\in [-2;-2/\sqrt{5}]\cup [2/\sqrt{5}; 2]$$
15. $$m\in [-2/\sqrt{3}; (\sqrt{13}-1)/4]$$
16. не существуют
17. (1/2; 1]
18. [-2; -1/2]
19. a>-1 или a<-3
20. [-1/2; 1/2]
21. (-1/2; 0]
22. при а<0 нет решений; при $$a\geq 0$$ имеем $$x=a+1/2-\sqrt{a+1/4}$$
23. при $$a\leq -5/4$$ имеем $$x=((\sqrt{a^2-1}-a\pm\sqrt{(\sqrt{a^2-1}-a)^2-4})/2)^2$$; при а>-5/4 решений нет
24. при $$|y|>2\sqrt{2}$$ и $$0<|y|<1/\sqrt{2}$$
25. при $$0<a\leq 1$$ имеем $$x=\log_2a$$; при остальных a решений нет.