Урок 35. Уравнения и неравенства с параметрами

Домашнее задание из В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”

1. При каких $$a$$ сумма квадратов корней уравнения $$x^2-ax+a+1=0$$ больше 1?
2. При каких $$a$$ сумма кубов уравнения $$x^2-x+a=0$$ меньше или равна 1?
3. При каких $$a$$ сумма четвертых степеней корней уравнения $$x^2-x+a=0$$ больше или равна 1?
4. Дано уравнение $$x^2+7x+3=0$$. Пусть $$x_1, x_2$$ – его корни. Составьте квадратное уравнение с корнями $$y_1, y_2$$, где $$y_1=x_1^2+x_2^2, y_2=x_1^3+x_2^3$$.
5. Дано уравнение $$ax^2+bx+c=0, a\ne 0$$ с корнями $$x_1, x_2$$. Составьте квадратное уравнение с корнями $$y_1=\frac{1}{x_1}, y_2=\frac{1}{x_2}$$.
6. При каких $$a$$ сумма квадратов корней уравнения $$x^2-4ax+5a=0$$ равна 6?
7. Для всех $$a$$ решите неравенство $$ax^2+x+1>0$$.
8. Для всех $$a$$ решите неравенство $$x^2+ax+1>0$$.
9. Для всех $$a$$ решите неравенство $$x^2+x+a\geq 0$$.
10. Для всех $$a$$ решите неравенство $$ax^2+(a+1)x+1>0$$.
11. При каких $$m$$ уравнение $$(m-3)x^2-6x+m+5=0$$ имеет корни? Исследовать их знаки при различных $$m$$.
12. При каких $$m$$ уравнение $$3mx^2-(7m+1)x+2m+1=0$$ имеет корни? Исследовать их знаки при различных m.
13. При каких $$a$$ сумма квадратов корней уравнения $$x^2+ax+a^2-3=0$$ минимальна? Максимальна?
14. Найдите все $$a$$, при которых уравнения $$x^2+ax+1=0$$ и $$x^2+x+a=0$$ имеют хотя бы один общий корень.
15. Дано неравенство $$ax+k^2>0$$. При каких значениях $$a$$ оно выполнено при всех $$x$$ и $$k$$?
16. Дано неравенство $$ax+k^2>0$$. При каких значениях $$a$$ найдутся такие $$x$$ и $$k$$, что оно выполняется?
17. Дано неравенство $$ax+k^2>0$$. При каких значениях $$a$$ найдется такое $$x$$, что оно выполняется при всех $$k$$?
18. Дано неравенство $$ax+k^2>0$$. При каких значениях $$a$$ найдется такое $$k$$, что оно выполняется при всех $$x$$?
19. Дано неравенство $$ax+k^2>0$$. При каких значениях $$k$$ оно выполнено при всех $$x$$ и $$a$$?
20. Дано неравенство $$ax+k^2>0$$. При каких значениях $$k$$ найдется такое $$a$$, что оно выполнено при всех $$x$$?

Ответы к домашнему заданию урока 35 из В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”

1. $$(-\infty; -1)\cup [2+2\sqrt{2};+\infty)$$
2. [0; 1/4]
3. $$a\leq 0$$
4. $$y^2+237y-12040=0$$
5. $$cy^2+by+a=0$$
6. -3/8
7. если а < 0, то $$x \in ((-1+\sqrt{1-4a})/(2a); (-1-\sqrt{1-4a})/(2a))$$; если а = 0, то x > -1; если $$a\in (0; 1/4]$$, то $$x<(-1-\sqrt{1-4a})/(2a), x>(-1+\sqrt{1-4a})/(2a)$$; если a>1/4, то x любое.
8. если |a|<2, то х любое; если $$|a|\geq 2$$, то $$x<(-a-\sqrt{a^2-4})/2, x>(-a+\sqrt{a^2-4})/2$$
9. если а > 1/4, то х любое; если $$a\leq 1/4$$, то $$x\leq (-1-\sqrt{1-4a})/2, x\geq (-1+\sqrt{1-4a})/2$$
10. если а < 0, то -1<x<-1/a; если а  = 0, то x > – 1; если $$0<a\leq 1$$, то x<-1/a, x>-1; если а>1, то x <-1, x>-1/a.
11. при $$m\in [-6; -5)$$ оба корня отрицательны; при m = -5 один из корней равен 0, а второй отрицателен; при -5<m<3 корни имеют различные знаки; при m=3 есть один положительный корень; при $$3<m\leq 4$$ оба корня положительны. При остальных m решений нет.
12. при m<-1/2, m>0 оба корня положительны; при m = -1/2 один из корней равен нулю, а другой отрицателен; при m = 0 уравнение имеет один положительный корень; при -1/2<m<0 корни имеют разные знаки
13. максимальна при a = 0; минимальна при $$a=\pm 2$$
14. -2
15. ни при каких
16. при любых а
17. при $$a\ne 0$$
18. а = 0
19. ни при каких
20. при $$k \ne 0$$