Урок 42. Геометрический подход 

Домашнее задание из В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”

1. $$x^2+2x+3=\sqrt{4-x^2}$$
2. Среди решений $$(x;y)$$ системы неравенств \(\left\{\begin{array}{l l} x+2y\leq 3,\\2x-y\leq 1,\\x\geq 0,\\y\geq 0 \end{array}\right.\) найдите все те, для которых выражение $$x^2+y^2$$ принимает максимальное значение.
3. Известно, что $$x+y+z=1$$. Найдите наименьшее значение выражения $$x^2+y^2+z^1$$.
4. Верно ли, что уравнение $$\log_{1/16}x=16^{-x}$$ имеет ровно один корень?
5. $$\frac{6-3^{x+1}}{x}>\frac{10}{2x-1}$$
6. При каких $$a$$ уравнение $$ax-|x|-|x+2|=\frac{a}{2}$$ имеет не менее двух решений?
7. При каких $$a$$ неравенство $$x^2+y^2\leq 6x-4y+a^2+a-13$$ имеет не менее пяти целочисленных решений?
8. При всех значениях параметра $$a$$ решите неравенство $$\sqrt{|x+1|}\leq a-x$$.
9. При каких $$a$$ уравнение $$x|x-2a|-1-a=0$$ имеет единственный корень?
10. Найдите наименьшее значение функции $$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2+x+y+0,5}+$$ $$\sqrt{x^2+y^2-2x+4y+5}$$
11. Найдите все $$a$$, для которых неравенство $$1+|x-a|>x^2$$ имеет хотя бы одно решение, большее единицы.
12. При каких $$a$$ система неравенств \(\left\{\begin{array}{l l} 2x+y\geq 2,\\x+y\leq 3,\\x\geq 0,\\y\geq 0 \end{array}\right.\)  имеет единственное решение?
13. При каких $$a$$ уравнение $$\log_2\sqrt{8x}+\frac{1}{2}|\log_2x+x-3|=a+\frac{x}{2}$$ имеет единственное решение?
14. Найдите все $$a$$, при которых функция $$f(x)=|x-a+1|+|x+3a|$$ является четной.
15. Найдите все $$a$$, для которых уравнение $$ax^2+|x|=|x+1|$$ не имеет решений.

Ответы к домашнему заданию урока 42 из В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”

1. нет решений
2. x = 0, y = 3/2
3. 1/3
4. нет, не верно
5. (0;1/2)
6. (-2; -4/5)
7. $$(-\infty;(-1-\sqrt{5})/2)\cup ((\sqrt{5}-1_/2; +\infty)$$
8. если  $$a<-1$$, то $$x\leq (2a-1-\sqrt{-4a-3})/2$$; если $$-1\leq a\leq -3/4$$, то $$x\leq  (2a-1-\sqrt{-4a-3})/2$$ и $$(2a-1+\sqrt{-4a-3})/2\leq x\leq (2a+1-\sqrt{4a+5})/2$$; если $$a>-3/4$$, то $$x\leq (2a+1-\sqrt{4a+5})/2$$
9. $$-1<a<(1+\sqrt{5})/2$$
10. 9/2
11. $$a\ne 1$$
12. 2
13. $$a=1, a\geq 3$$
14. -1/2
15. a < -1