Урок 24. Касательная

Домашнее задание из В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”

1. Найти все такие числа $$x_0$$, что касательные к графикам функций $$y=3\cos 5x$$ и $$y=5\cos 3x+2$$ в точках с абсциссой $$x_0$$ параллельны.
2. Найти уравнения тех касательных к графику функции $$y=\frac{2x^2-1}{x}$$, которые вместе с осями координат ограничивают треугольник площади 1.
3. К параболе $$y=4-x^2$$ в точке с абсциссой $$a=1$$ проведена касательная. Найти точку ее пересечения с осью координат.
4. Вычислить площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции $$y=\frac{x}{2x-1}$$ в точке с абсциссой $$a=1$$.
5. Найти точки пересечения с осями координат тех касательных к графику функции $$y=\frac{2x-3}{x+3}$$, у которых угловой коэффициент равен 9.
6. Найти все $$a$$, при которых касательная к графику функции $$y=\cos 7x+7\cos x$$ в точке с абсциссой $$a$$ параллельна касательной к этому же графику в точке с абсциссой $$\pi/6$$.
7. [3] Найти координаты точки, лежащей на графике функции $$y=1+\cos x$$ при $$0\leq x\leq \pi$$ и наименее удаленной от прямой $$x\sqrt{3}+2y+4=0$$.
8. [2] Прямая касается графика функции $$y=\sqrt[3]{x^2}$$ в точке с абсциссой $$a\in [1/2; 1]$$. При каких $$a$$ площадь треугольника, ограниченного этой прямой, осью Ох и прямой х = 2 будет наименьшей? Найти эту наименьшую площадь.
9. Найти координаты точки пересечения касательных к графику функции $$y=\frac{3x+1}{2x-1}$$ в точках с абсциссами -1 и 3.
10. Проводятся касательные к графику функции $$y=3x-x^2$$ в точке с абсциссой $$a = 2$$ и в точке минимума. Найти площадь треугольника, образованного осью ординат и этими касательными.
11. Найти координаты точки пересечения касательных к графику функции $$y=\cos \pi x$$ в точках с абсциссами 1/6 и 7/6.
12. Найти координаты точек пересечения с осью абсцисс касательных к графику функции $$y=\frac{x+1}{x-3}$$, которые образуют угол 135^о с осью Ох.
13. Вычислить площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции $$y=\sqrt{2x^2-4}$$ в точке с абсциссой $$a=2$$.
14. [2] Прямая касается графика функции $$y=\frac{1}{x^2}$$ в точке с абсциссой $$a\in [5;9]$$. Эта прямая, ось Ох и прямая х = 4 ограничивают треугольник. При каких $$a$$ его площадь будет наибольшей? Найти эту наибольшую площадь.
15. [2] На плоскости Оxy рассматриваются прямоугольные треугольники ABC, где угол ACB прямой, А=(2;0), вершина С лежит на отрезке [0;2] оси Ох, а В – на параболе $$y=2x-x^2$$. Какие координаты должна иметь точка В, чтобы площадь треугольника АВС была наибольшей?

Ответы к домашнему заданию урока 24 из В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”

1. $$n\pi, \pi/8+n\pi/4, n\in Z$$
2. $$y=4x\pm 2\sqrt{2}$$
3. (0;5)
4. 2
5. (0;11), (-11/9; 0), (0;47), (-47/9; 0)
6. $$n\pi/4, \pi/6+n\pi/3, n \in Z$$
7. (0;2)
8. a=4/5; наименьшая площадь равна $$48\cdot\sqrt[3]{5/4}/25$$
9. (-7; 4)
10. 49/32
11. $$(2/3+\frac{\sqrt{3}}{\pi}; -\pi/4)$$
12. (0;0), (8;0)
13. 1
14. a=8, наибольшая площадь равна 1/8
15. (2/3; 8/9)