Урок 21. Задачи, содержащие логарифмы, модули, радикалы и т.п.

Домашнее задание из В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”

1. $$\log_3\frac{|x^2-4x|+3}{x^2+|x-5|}\geq 0$$
2. $$\sqrt{1+\log_2x}+\sqrt{4\log_4x-2}=4$$
3. $$1-\sqrt{1-8(\log_{1/8}x)^2}<3\log_{1/4}x$$
4. $$\frac{\sqrt{\log_{0,5}^2x-81}+2}{\log_{0,5}x-1}<1$$
5. $$9^{-|x|}=(\frac{1}{2})^{|x+1|+|x-1|}$$
6. $$|x|^{x^2-x-2}<1$$
7. $$2^{|x+2|}-|2^{x+1}-1|=2^{x+1}+1$$
8. $$tg x^{\cos^2 x}=ctg x^{\sin x}$$
9. $$\log_3(\sqrt{x}+|\sqrt{x}-1|)=\log_9(4\sqrt{x}-3+4|\sqrt{x}-1|)$$
10. [2] $$\sqrt{\cos 3x+\sqrt{3}\sin 3x-3\cos^2 x+\cos x+\frac{13}{4}}=\sqrt{3}\sin x+\frac{1}{2}$$
11. $$|2+\log_{1/5}x|+3=|1-\log_{1/5}x|$$
12. $$3^{\sin 2x+2\cos^2 x}+3^{1-\sin 2x+2\sin^2 x}=28$$
13. [2] $$x^2\cdot 3^{x-2}+3^{\sqrt{x}+2}=3^x+x^2\cdot 3^{\sqrt{x}}$$
14. [2] $$8\sqrt{12+16x-16x^2}+4x-4x^2=33$$
15. $$\frac{x-1-\sqrt{0,5+x-x^2}}{\lg (4x+1)-\lg 5}\geq 0$$
16. \(\left\{\begin{array}{l l} \log_yx-2\log_xy=1,\\x^2+2y^2=3\end{array}\right.\)
17. $$25^{x+1}\geq 10\cdot 32^{|x-1|+1}$$
18. $$\frac{|x-2|}{|x-1|-1}=1$$
19. $$\frac{2\log_{1-3|x|}(42x^2-14|x|+1)}{\log_{1-3|x|}(x-\frac{5}{6})^2}\leq 1$$
20. $$\frac{3(4x^2-9)}{\sqrt{3x^2-3}}\leq 2x+3$$
21. $$\log_{1/3}(\sqrt{9x-x^2}+3)>\log_3\frac{27}{\sqrt{9x-x^2}+\sqrt{5-x^2}+2}-3$$
22. \(\left\{\begin{array}{l l} 2^{|x^2-2x-3|-\log_23}=3^{-y-4},\\4|y|-|y-1|+(y+3)^2\leq 8\end{array}\right.\)
23. $$8+6|3-\sqrt{x+5}|>x$$
24. $$\sqrt{5-2\sin x}=6\sin x-1$$
25. $$3^{|3x-4|}=9^{2x-2}$$
26. $$\log_5((2+\sqrt{5})^x-(\sqrt{5}-2)^x)=\frac{1}{2}-3\log_{1/5}2$$
27. $$|\frac{1}{3}-\log_{1/8}x|=|\frac{2}{3}-\log_{1/8}x|-\frac{1}{3}$$
28. $$\sqrt{x}+\sqrt{x(x+2)}+\sqrt{(x+1)^3}=0$$
29. $$x^{\sqrt{x}}=\sqrt{x^x}$$
30. $$|x-2|^{\log_4(x+2)-\log_2x}<1$$

Ответы к домашнему заданию урока 21 из В.В. Ткачук “Математика – абитуриенту”

1. $$(-\infty; -2/3]\cup [1/2; 2]$$
2. 8
3. $$[2^{-3/(2\sqrt{2})}; 1)$$
4. $$(2^{-15}; 2^{-9}]\cup [512; +\infty)$$
5. $$\pm\log_32$$
6. $$(1;2)$$
7. $${-3}\cup [-1; +\infty)$$
8. $$\pi/4+n\pi, \arcsin ((\sqrt{5}-1)/2)+\pi (2n+1)$$
9. [0;1]U{4}
10. $$(-1)^n\pi/4+n\pi$$
11. $$[25; +\infty)$$
12. $$-\pi/8+(-1)^{n+1}\pi/8+n\pi/2$$
13. 3; 4
14. 1/2
15. $$[(3+\sqrt{5})/4; (1+\sqrt{3})/2]\cup (-1/4; 1)$$
16. $$(\sqrt{2}; 1/sqrt{2})$$
17. $$[\frac{11-\log_25}{5+2\log_25}; \frac{\log_25-1}{5-\log_25}]$$
18. $$(2;+\infty)$$
19. $$(-1/3; -(7+\sqrt{7})/42)\cup [(-15+\sqrt{197})/84; 0)\cup (0; (13-\sqrt{141})/84)\cup [(13+\sqrt{141})/84; 1/3)$$
20. [-3/2; -1)U(1;2]
21. [0;2)
22. (3;-3), (-1;-3)
23. [-5; 20)
24. $$(-1)^n\pi/6+n\pi$$
25. 8/7
26. 2
27. $$[1/2; +\infty)$$
28. нет решений
29. 1; 4
30. $$(1;2)\cup (3;+\infty)$$