Теория чисел

Задачи 61-80

вернуться к содержанию

61. Число \(m\) при делении на 4 дает в остатке 1, а при делении на 5 дает в остатке 2. Чему равен остаток от деления числа \(m\) на 20?
62. Докажите, что любая натуральная степень числа 15 при делении на 7 дает остаток 1.
63. Докажите, что число \(n^4+64\) составное при всех натуральных \(n\).
64. Докажите, что если одно из чисел \(2^n-1, 2^n+1\) является простым, то второе из них является составным, где \(n\) – натуральное число, \(n>2\).
65. Найдите все целые числа \(n\), при которых модуль трехчлена \(n^2-7n+10\) является простым числом.
66. Найдите все простые числа \(p\) такие, что \(p^2+13\) – тоже простое.
67. Числа \(p\) и \(2p+1\) являются простыми и \(p>3\). Докажите, что число \(4p+1\) составное.
68. Докажите, что число \(222^{381}+555^{177}\) является составным.
69. Найдется ли такое натуральное \(n\), при котором число \(2^n+n^2\) оканчивается на 5?
70. Какой цифрой оканчивается число \(9^{906}-1\)?
71. Петя и Вася живут в одном доме. На каждом из этажей во всех подъездах дома расположено по 4 квартиры. Петя живет на 5 этаже в квартире 83, а Вася  – на 3 этаже в квартире 169. Сколько этажей в их доме?
72. В 13-томном справочнике сплошная нумерация страниц. Сколько страниц в одном томе, если в каждом из томов их поровну, а сумма номеров первых и последних страниц равна 39390.
73. Расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4 и 5 знаки математических действий так, чтобы результатом этих действий было число 20.
74. Найдите трехзначное число, равно кубу суммы его цифр.
75. Шестая степень натурального числа \(n\) записывается в десятичной системе семью цифрами 2, 4, 5, 8, 8, 9, 9, расположенными в некотором порядке. Найдите \(n\).
76. Известно, что \(a+\frac{1}{a}\) – натуральное число. Докажите, что \(a^4+\frac{1}{a^4}\) – также натуральное число.
77. Если все цифры некоторого натурального числа \(n\) переписать в обратном порядке, то новое число будет в 4 раза больше первоначального. Найдите хотя бы одно такое число \(n\).
78. Некоторое натуральное число \(n\) оканчивается на 2. Если двойку перенести с последнего места на первое, то число удвоится. Найдите \(n\)
79. Найдите хотя бы одно натуральное \(n\), которое делится на 11 без остатка, а при делении на 2, 3, 4, …, 10 дает в остатке 1.
80. Найдите наименьшее натуральное число, в записи которого задействованы все цифры от 0 до 9, и такого, что оно делится без остатка на 36.