Теория чисел
Задачи 41-60
- Докажите, что \(7^{191}-1\) делится на 6.
- Докажите, что любое число, десятичная запись которого состоит из \(3n\) единиц, делится на 37
- Докажите, что при всех натуральных \(n\) число \(\frac{1}{5}(2^{4n+2}+1)\) – целое, и при \(n>1\) – составное
- Докажите, что при любом натуральном \(n\) числа вида \(2^{3n}-7n-1\) делится на 49.
- Пусть \(m,n,k\) – натуральные числа и \(m+n+k\) делится без остатка на 6. Докажите, что в этом случае делятся без остатка на 6 числа \(m^3+n^3+k^3\) и \(m^5+n^3+k\)
- При натуральные числа \(m\) и \(n\) известно, что \(m^2+n^2\) делится без остатка на 3. Докажите, что в этом случае числа \(m\) и \(n\) по отдельности также делятся на 3.
- При натуральные числа \(m\) и \(n\) известно, что \(m^2+n^2\) делится без остатка на 7. Докажите, что в этом случае числа \(m\) и \(n\) по отдельности также делятся на 7.
- Пусть \(p>4\) – простое число. Докажите, что \(p^4-1\) делится без остатка на 48.
- Докажите, что для всех натуральных чисел \(m\) и \(n\) таких, что \(m>n\), число \(mn(m^2-n^2)\) делится без остатка на 6.
- Докажите, что при натуральных \(n\) число \(n^3-n\) делится на 6.
- Докажите, что произведение любых четырех последовательных натуральных чисел делится нацело на 24.
- Докажите, что при любом натуральном \(n\) число \(n^5-5n^3+4n\) делится без остатка на 120.
- Делится ли на 81 число, запись которого состоит из 81 единицы?
- Докажите, что из любых 52 целых чисел можно выбрать два числа так, чтобы либо их сумма, либо их разность делилась на 100.
- Известно, что длины сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами. Докажите, что хотя бы одна из длин сторон треугольника делится на 3 и хотя бы одна из длин сторон делится на 5.
- Докажите, что число \(\overline{abcd}\) делится нацело на 101 тогда и только тогда. когда \(\overline{ab}-\overline{cd}=0\)
- Докажите, что из 18 последовательных трехзначных чисел хотя бы одно делится без остатка на сумму своих цифр.
- Найдите максимальное \(n\), при котором 500! делится на \(7^n\)
- Известно, что \(n-1\) делится нацело на 2, \(n-2\) делится нацело на 5. Докажите, что \(n+3\) делится нацело на 10.
- Может ли натуральное число делиться нацело на 8, а при делении на 12 давать остаток, равный 10?