Теория чисел
Задачи 321-340
- Докажите, что уравнение не имеет решений в целых числах: а) \(x^2-y^2=1982\); б) \(x^2=3y^2+17\); в) \(y^2=5x+6\); г) \(2^x-1=y^2, x>1\); д) \(x^2-9y^2=23\); е) \(9x=y^2-2\); ж) \(x^2-5y^2=3\)
- Решите в натуральных числах уравнение \(2xy+4z=zx^2+4y^2z\)
- Решите в натуральных числах уравнение \(xz+4y=yx^2+z^2y\)
- Решите в натуральных числах уравнение \(3xy+9z=9zx^2+zy^2\)
- Решите в натуральных числах уравнение \(x+y+z=xyz\)
- Решите в натуральных числах уравнение \(3xy+3yz+3xz=5xyz+3\)
- Решите в целых числах уравнение \(x^2+y^2+z^2=2xyz\)
- Решите в целых числах уравнение \(x^2-2y^2+8z=3\)
- Сколько различных целочисленных пар удовлетворяют уравнению \(x^2=4y^2+20025\)?
- Найдите натуральное число \(x\), если: а)\(\varphi(6^x)=72\); б) \(\varphi(12^x)=6912\); в) \(\varphi(15^x)=1800\)
- Докажите, что для любого целого числа \(m>1\) сумма всех натуральных чисел, не превосходящих числа \(m\) и взаимно простых с \(m\), равна \(0,5\cdot m\cdot\varphi(m)\)
- Найдите все натуральные числа \(n\), для которых имеет место равенство \(n=2\cdot\varphi(n)\)
- Найдите остаток от деления \(3\cdot 5^{75}+4\cdot 7^{100}\) на 132
- Докажите, что если \(p\) и \(q\) произвольные простые числа, то для любого целого числа \(a\) имеет место сравнение \(qa^p+pa^q=(p+q)a (mod pq)\)
- Решите уравнение \(x^2-2y^2=1\) в рациональных числах
- Решите уравнение \(x^2+3y^2=1\) в рациональных числах
- Мастер делает в час целое число деталей, большее, чем 15, а ученик – на 5 деталей меньше. Один мастер выполняет заказ за целое число часов, а два ученика вместе – на 1 час быстрее. Из какого количества деталей состоит заказ?
- При каких \(a\) система неравенств \(x+3y>24\), \(y-x<6\) и \(ay>x-2\) имеет единственное решение в целых числах?
- Найдите сумму всех семизначных четных чисел, делящихся на 3 и записываемых только цифрами 0 и 1.
- Стороны прямоугольника выражены целыми числами. Каковы длины сторон прямоугольника, если его периметр численно равен площади?