Теория чисел
Задачи 281-300
- Найдите наименьшее натуральное число, большее двух и дающее при делении на 2, 3, 4, 5, 6 остаток, равный 1.
- Для каких двух различных натуральных чисел в пределах от 1 до 1000 их наименьшее общее кратное является наибольшим из всех возможных?
- Натуральное число при делении на 2, 3, 4, 5, 6 и 7 дает в остатке соответственно 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Найдите наименьшее такое число. Найдите общий вид таких чисел.
- Натуральное число при делении на 4, 5 и 6 дает в остатке соответственно 3, 4 и 5, а на 7 делится без остатка. Найдите наименьшее такое число и общий вид таких чисел.
- Найдите наименьшее общее кратное натуральных чисел \(n\) и \(n+3\)
- Чему может быть равно наименьшее общее кратное трех чисел \(n\), \(n+1\) и \(n+2\), где \(n\in N\)?
- Среди первых ста натуральных чисел найдите три различных числа, наименьшее общее кратное которых – наибольшее из всех возможных.
- Три теплохода заходят в порт после каждого рейса. Первый теплоход совершает рейс за 4 дня, второй – за 6, третий – за 9. Однажды они встретились в порту все вместе. Через какое наименьшее число дней они снова встретятся в порту все вместе?
- На гранях кубиков нужно написать буквы русского алфавита, по одной на каждой грани. Какое наименьшее число кубиков нужно взять для того, чтобы все 33 буквы алфавита были написаны одинаковое количество раз и все грани кубиков были заполнены?
- Отец и сын шли по занесенной снегом дороге друг за другом. Длина шага отца – 80 см, сына – 60 см. Их шаги совпали 601 раз, в том числе в самом начале пути и в конце пути. Какое расстояние они прошли?
- Два школьника вышли одновременно из А в В и отправились друг за другом по занесенной снегом тропинке. Шаг одного из них равен 75 см, другого – 65 см. В первый раз их шаги совпали через 18 секунд после начала движения, а после 10 минут движения их шаги впервые совпали в пункте В. Найдите расстояние АВ.
- Докажите, что наименьшее общее кратное натуральных чисел 1, 2, …, 2n-1, 2n совпадает с наименьшим общим кратным чисел n+1, n+2, …, 2n.
- Найдите натуральные числа a и b, если они не делятся друг на друга и НОД(a,b)=6, НОК(a,b)=90.
- Найдите наименьшую дробь, при делении которой на каждую из дробей 21/25 и 14/15 получаются натуральные числа.
- Найдите все пары натуральных чисел, произведение которых равно 108, а отношение их наименьшего общего кратного к наибольшему общему делителю равно 12.
- Сколькими нулями оканчивается десятичная запись числа 100! ?
- Существует ли такой многочлен P(x) с целыми коэффициентами, что P(1)=1 и P(5)=2?
- Решите в натуральных числах уравнение \((x+y)^2-3x-y=150\)
- Решите в целых числах уравнение \(x^3+21y^2+5=0\)
- Решите в целых числах уравнение \(4x^3-2y^3-z^3=0\)