Теория чисел
Задачи 241-260
- Из чисел от 1 до 1000! вычеркнуты все числа, делящиеся на 2, 3, 5 и 7. Какая часть первоначально взятых чисел осталась невычеркнутой?
- Числа b и c взаимно просты. Сколько имеется чисел от 1 до a, делящихся хотя бы на одно из чисел b и c?
- Докажите, что число \(3^{24}+3^{17}+1\) является составным.
- Найдите все упорядоченные тройки простых чисел \((p;q;r)\), удовлетворяющие равенству \(p^q+q^p=r\)
- Докажите, что a не может быть четвертой степенью натурального числа, если a-5 делится на 9.
- Докажите, что число вида 8n+7 не может быть суммой квадратов трех целых чисел.
- Докажите, что сумма четных степеней трех последовательных четных чисел не может равняться четной степени целого числа.
- Решите сравнения: а) \(2x+1=0(mod 7)\); б) \(2x+3=0(mod 6)\); в) \(x^2=-1(mod 11)\); г) \(2x^2+3x+1=0(mod 5)\)
- Решите сравнения: а) \(4x^2+3x=5(mod 11)\); б) \(x^3+4x^2=-1(mod 9)\)
- Решите систему сравнений \(x=3(mod 5)\) и \(x=1(mod 8)\)
- Докажите, что числа вида \(k^2+k+2\) не могут делиться на числа вида \(6n+3\)
- Докажите, что числа вида \(k^2+k+1\) не могут делиться на 5, на 11, на 17.
- Докажите, что ни при каком натуральном \(n\) число \(1+2+…+n\) не может заканчиваться ни одной из цифр 2, 4, 7, 9.
- Найдите остаток от деления числа \(98!\cdot 1904!+1\) на 2003
- Докажите, что число \(97!\cdot 1905!-1\) делится на 2003
- На доске написано число \(x\). За каждый ход его можно заменить либо на число \(2x+4\), либо на число \(3x+8\), либо на число \(x^2+5x\). Можно ли за несколько таких ходов из числа 3 получить число 2002?
- Докажите, что НОД(a,b)=НОД(a,a+b)=НОД(a,a-b)
- Докажите, что если целые числа a и b взаимно просты, то их сумма и произведение также являются взаимно простыми числами.
- Докажите, что если числа a и b являются взаимно простыми, то НОД(a+b,a-b) равен либо 1, либо 2. Приведите пример таких взаимно простых чисел a и b, что НОД(a+b, a-b)=2
- Докажите, что если числа a и b являются взаимно простыми, то НОД(\(a+b\),\(a^2-ab+b^2\)) равен либо 1, либо 3. Приведите пример таких взаимно простых чисел a и b, что НОД(\(a+b\),\(a^2-ab+b^2\))=3