Теория чисел
Задачи 221-240
- Известно, что числа \(p\) и \(8p^2+1\) – простые. Найдите \(p\)
- Известно, что числа \(p, 2p+1, 4p+1\) – простые. Найдите \(p\)
- Найдите все такие простые числа \(p\), что число \(2p^2+1\) также простое.
- Докажите, что число \(n^3-n+3\) составное для любого натурального \(n>1\)
- Найдите все такие простые числа \(p\), что числа \(4p^2+1\) и \(6p^2+1\) также простые
- Докажите, что остаток от деления простого числа на 30 либо является простым числом, либо равен 1
- Докажите, что если \((n-1)!\) не делится на \(n\), то либо \(n=4\), либо \(n\) – простое число
- Пусть \(n>2\). Докажите, что произведение всех простых чисел, не превосходящих \(n\), больше \(n\)
- Докажите, что если \(n>2\), то между числами \(n\) и \(n!\) есть простое число.
- Докажите, что если число \(n\) – составное, то число \(2^n-1\) тоже составное
- Докажите, что квадрат простого числа, большего трех, дает остаток 1 при делении на 12
- Докажите, что для любого натурального числа \(k\) в натуральном ряду можно найти \(k\) идущих подряд составных чисел
- Найдите простое число \(p\), если число \(13p+1\) является кубом некоторого натурального числа.
- Докажите, что сумма \(n>1\) последовательных нечетных чисел является составным числом
- Докажите, что если \(p\) – простое число, то число \(C_p^i\) при \(0<i<p\) делится на \(p\). Верно ли это утверждение, если число \(p\) не является простым?
- Докажите, что число вида \(n^4+4\), \(n\in N, n>1\) всегда составное.
- Обозначим через \(p_n\) n-ое по порядку простое число. Докажите, что \(p_n\ge 2n\)
- Пусть \(p\) – простое число. Докажите, что единственным решением в целых числах уравнения \(x^3+py^3+p^2z^3=0\) является \(x=y=z=0\)
- Докажите, что существует бесконечно много простых чисел, дающих при делении на 3 остаток 2.
- Докажите, что простых чисел вида \(4k-1\) бесконечно много.