Теория чисел
Задачи 21-40
- Докажите, что сумма квадратов двух последовательных целых чисел при делении на 4 дает в остатке 1.
- Докажите, что нет такого числа в последовательности 11, 111, 1111, 11111, …, которое является квадратов целого числа.
- Докажите, что при всех целых \(n\) число \(n^5-n\) делится на 30.
- Найдите такие натуральные \(n\) и \(m\), что \(m+n=20\) и НОД\((n,m)=5\).
- Докажите, что при всех натуральных значениях \(n\) наибольший общий делитель чисел \(n^2+10n+21\) и \(n^2+9n+18\) равен \(n+3\)
- Докажите, что при всех целых \(k\) выполняется равенство НОД\((2k+1,9k+4)=1\)
- Найдите наибольший общий делитель чисел 11111111 и 11…111 (сто раз повторяется единица).
- Докажите, что при всех натуральных значениях \(n\) наименьшее общее кратное чисел \(n^2+6n+9\) и \(n+4\) равно \(n^3+10n^2+33n+36\)
- Совокупность А состоит из различных натуральных чисел. Количество чисел в А больше семи. Наименьшее общее кратное всех чисел из А равно 210. Для любых двух чисел из А их наибольший общий делитель больше единицы. Произведение всех чисел из А делится на 1920 и не является квадратов никакого целого числа. Найдите числа, из которых состоится А.
- Расшифруйте равенство \(\overline{PPQ}\cdot P=\overline{MRMM}\)
- Найдите все пары натуральных чисел \(m\) и \(n\), удовлетворяющих равенству \(2^m-2^n=1984\)
- Докажите, что ни при каком натуральном \(n\) число \(n^4+2n^3+2n^2+2n+1\) не может быть полным квадратом.
- Докажите, что натуральное число, сумма цифр которого равна 24, не может быть полным квадратом.
- Докажите, что число, оканчивающееся на 17, не может быть полным квадратом.
- Сумма цифр некоторого числа \(n\) равна 366. Может ли это число быть полным квадратом?
- Найдите предпоследнюю цифру числа, которое является полным квадратом и оканчивается на 5.
- Докажите, что числа 16, 1156, 111556, 11115556, … являются полными квадратами.
- Найдите последнюю цифру числа \(1997^{1997}\)
- Докажите, что разность между трехзначным числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке, либо равна нулю, либо не может быть квадратом целого числа.
- Найдите цифру Х, при которой число \(\overline{12X347X}\) делится на 8.