Теория чисел
Задачи 201-220
- Последовательность \((x_n)\) задана формулами \(x_1=x_2=1\) и \(x_{n+2}=x_{n+1}^2+x_n^2\), если \(n>0\). Делится ли \(x_{2003}\) на 7?
- Последовательность \((x_n)\) задана формулами \(x_1=1, x_2=2\) и \(x_{n+1}=x_n\cdot x_{n-1}+1\), если \(n>2\). Докажите, что ни одно из чисел этой последовательности не делится на 4.
- Докажите, что для любого целого \(n\) либо \(n^3-n\), либо \(n^3+n\) делится на 10
- Докажите, что если \(n\) нечетно, то \(n^5+5n^4-n-5\) делится на 80.
- Докажите, что \(ab(a^6-b^6)\) делится на 42 при любых целых \(a\) и \(b\)
- Докажите, что среди любых \(n+1\) натуральных чисел найдутся два, разность которых делится на \(n\)
- Докажите, что для любого целого числа \(a\) в последовательности \(a, a+1, …, a+(n-1)\) ровно одно из чисел делится на \(n\)
- Докажите, что для любого нечетного \(a\) найдется такое натуральное \(n\), что \(2^n-1\) делится на \(a\)
- Докажите, что наименьшее число, взаимно простое с числами 2, 3, …, \(n\), просто
- Докажите, что для любого натурального \(n\) найдется такое натуральное \(x\), что число \(nx+1\) составное
- Докажите, что если число, являющееся квадратом некоторого целого числа, делится на простое число \(p\), то оно должно делиться и на число \(p^2\)
- При каких целых \(n\) число \(n^2-7n+10\) является простым?
- При каких целых \(n\) число \(n^4+n^2+1\) является простым?
- Про три простых числа известно, что одно из них является разностью кубов двух других. Какие это числа?
- Докажите, что если \(a^n-1\) – простое число, то \(a=2\) и \(n\) – простое число
- Докажите, что если \(2^m+1\) – простое число, то \(m=2^n\) для некоторого целого неотрицательного \(n\)
- Найдите все простые числа \(p\) такие, что числа \(p+2\) и \(p+4\) также простые
- Какие остатки при делении на 6 может иметь простое число, большее 3?
- Докажите, что если \(p\) и \(2p+1\) – простые число, большие 6, то число \(4p+1\) составное
- Известно, что числа \(p, p+10, p+14\) – простые. Найдите \(p\).