Теория чисел
Задачи 181-200
- Решите уравнение \(3x^2+2x+3y-2=0\) в целых числах
- Найдите целые положительные решения уравнения \(2x^2+2xy-x+y=112\)
- Найдите все целочисленные решения уравнения \(7889x^3=2875y^3\), если \(|y|<9\)
- Решите уравнение в целых числах \(x^2-xy-2y^2=-5\)
- Найдите все целые решения уравнения \(2x^2y^2+y^2-6x^2-12=0\)
- Найдите все целые решения уравнения \(2x^2-3xy-2y^2=7\)
- Решите в целых числах уравнение \(10x^4-2y^4+x^2y^2+29y^2-113x^2+171=0\)
- Найдите все пары целых чисел \((x;y)\), удовлетворяющие уравнению \((x^2+y^2)(x+y-3)=2xy\)
- Докажите, что \(11n^2-14n+3\ge 0\) при \(n\in Z\)
- Найдите целые \(x,y,z\) такие, что \(xy+z=94\) и \(x+yz=95\)
- Найдите все целые числа \(m\) и \(n\) такие, что \(2nm+3m=10\) и \(n+m\ge 5\)
- Найдите все пары целых чисел \((p;q)\), удовлетворяющие одновременно неравенствам \(p^2+q^2<18p-20q-166\) и \(32p-q^2>p^2+12q+271\)
- Найдите все пары целых чисел \((x;y)\) такие, что \(2x^2+2y^2+24x-28y+167<0\) и \(x+2y<\frac{15}{2}\)
- В школьной газете сообщается, что процент учеников некоторого класса, повысивших во втором полугодии успеваемость, заключен в пределах от 2,9% до 3,1%. Определите минимально возможное число учеников в таком классе.
- В контейнер упакованы изделия двух типов. Стоимость и вес одного изделия составляют 400 тыс. руб. и 12 кг для первого типа и 600 тыс. руб. и 15 кг для второго. Общий вес изделий 321 кг. Определите минимальную и максимальную возможную стоимость находящихся в контейнере изделий
- В контейнер упакованы комплектующие изделия трех типов. Стоимость и вес одного изделия составляют 400 тыс. руб. и 12 кг для первого типа, 500 тыс. руб. и 16 кг – для второго типа, 600 тыс. руб. и 15 кг – для третьего типа. Общий вес изделий равен 326 кг. Определите минимальную и максимальную возможную суммарную стоимость находящихся в контейнере комплектующих изделий.
- Натуральные числа \(a,b,c\), взятые в указанном порядке, образуют возрастающую геометрическую прогрессию, знаменатель которой является целым числом. Числа 2240 и 4312 делятся без остатка на \(b\) и \(c\) соответственно. Найдите числа \(a,b,c\), если известно, что при указанных условиях сумма \(a+b+c\) максимальна.
- Решите в целых числах уравнение \(\sqrt{m+\sqrt{n}}=n\)
- Решите в целых числах уравнение \(x^2+2=5y\)
- Докажите, что если числа \(a+b\) и \(ab\) рациональны, то число \(a^3+b^3\) также рационально.