Теория чисел

Задачи 141-160

вернуться к содержанию

141. Найдите минимальное натуральное число, которое при делении на 2, 3, …, 10 дает в остатке соответственно 1, 2, … , 9.
142. Известно, что \(n-1\) делится на 15, а 1001 делится на \(n+1\). Найдите \(n\)
143. В киоске были проданы одинаковые комплекты, состоящие только из синих и красных карандашей, причем в каждом комплекте число синих карандашей более чем на 3 превосходило число красных. Если бы в каждом комплекте число синих карандашей увеличили в 3 раза, а число красных – в 2 раза, то число синих карандашей в одном комплекте превосходило бы число красных не более чем на 16, а общее число всех проданных карандашей равнялось бы 81. Определите, сколько продано комплектов и сколько в каждом комплекте синих и красных карандашей.
144. Найдите натуральные решения уравнения \(3x^2+3xy+2x-y=56\)
145. Найдите натуральные решения уравнения \(2x^2-2xy+x+3y=36\)
146. После деления некоторого двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 7, а в остатке 6. После деления этого же двузначного числа на произведение его цифр в частном получается 3 и в остатке 11. Найдите это двузначное число.
147. На факультет подано от школьников на 600 заявлений больше, чем от производственников. Девушек среди школьников в 5 раз больше, чем девушек среди производственников, а юношей среди школьников больше, чем юношей среди производственников, в \(n\) раз, причем \(5<n<13\) (\(n\) – целое число). Определите общее количество заявлений, если юношей среди производственников на 20 больше, чем девушек среди производственников.
148. Число двухкомнатных квартир в доме в 4 раза больше числа однокомнатных, а число трехкомнатных квартир кратно числу однокомнатных. Если число трехкомнатных квартир увеличить в 5 раз, то их станет на 22 больше, чем двухкомнатных. Сколько всего квартир в доме, если известно, что их не меньше 100?
149. Линию, связывающую города А и В, обслуживают самолеты трех типов. Каждый самолет первого, второго и третьего типов может принять на борт соответственно 230, 110 и 40 пассажиров, а также 27, 12 и 5 контейнеров. Все самолеты линии могут принять на борт одновременно 760 пассажиров и 88 контейнеров. Найдите число действующих на линии самолет каждого типа, зная, что их общее число не превосходит 8.
150. Натуральные числа \(a,b,c\), взятые в указанном порядке, образуют возрастающую геометрическую прогрессию, знаменатель которой является целым числом. Числа 2240 и 4312 делятся на \(b\) и \(c\) соответственно. Найдите \(a,b,c\), если известно, что при указанных условиях сумма \(a+b+c\) максимальна.
151. При перемножении двух натуральных чисел, разность которых равна 10, была допущена ошибка: цифра сотен в произведении увеличена на 2. При делении полученного (неверного) произведения на меньший множитель получены частное 50 и остаток 25. Найдите множители.
152. Мастер делает за 1 час целое число деталей, большее 5, а ученик – на 2 детали меньше. Один мастер выполняет заказ за целое число часов, а два ученика вместе – на 1 час быстрее. Из какого количества деталей состоит заказ?
153. Совокупность А состоит из различных натуральных чисел. Количество чисел в А не меньше восьми. Наименьшее общее кратное всех чисел из А равно 462. Для любых двух чисел из А их наименьшее общее кратное меньше 250. Произведение всех чисел из А, умноженное на 9, является кубом целого числа. Найдите числа, из которых состоит А.
154. Сколько существует четырехзначных чисел, которые в 600 раз больше суммы своих цифр?
155. Какое трехзначное число равно кубу цифр его единиц, а также квадрату числа, составленного из его второй и третьей цифр?
156. Найдите двузначное число, если известно, что при делении этого числа на сумму его цифр в частном получается 4 и в остатке 3. Если же из искомого числа вычесть удвоенную сумму его цифр, то получится 25.
157. Партию деталей решили поровну разложить по ящикам. Сначала в каждый ящик положили по 12 деталей, но при этом осталась одна деталь. Тогда из одного ящика вынули все детали, и в оставшиеся ящики удалось разложить детали поровну. Сколько деталей было в партии, если в каждый ящик помещается не более 20 деталей?
158. Разность цифр двузначного натурального числа А равна 4, а сумма квадратов цифр А больше произведения его цифр на 37. Найдите А.
159. Докажите, что если \(\overline{abc}\) делится на 37, то и \(\overline{bca}\), и \(\overline{cab}\) тоже делятся на 37.
160. Докажите, что числа вида \(13^{2n}-1\) делятся на 168.