Теория чисел
Задачи 121-140
- Докажите, что для любых целых чисел \(a\) и \(b\) число \(a^2+b^2\) делится на 3 тогда и только тогда, когда оба числа \(a\) и \(b\) делятся на 3.
- Докажите, что какими бы ни были целые числа \(a\) и \(b\), хотя бы одно из чисел \(a\), \(b\), \(a+b\), \(a-b\), \(2a+b\), \(2a-b\) делится на 5.
- Докажите, что среди семи натуральных чисел, образующих арифметическую прогрессию с разностью 30, ровно одно делится на 30.
- Докажите, что если \(a^2+b^2\) делится на 7, то \(a^2+b^2\) делится на 49.
- Докажите, что если \(a^3+b^3+c^3\) делится на 7, то одно из чисел \(a, b, c\) делится на 7.
- Докажите, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде суммы квадратов двух целых чисел.
- Докажите, что число вида \(a(a+1)(2a+1)\) при любом целом \(a\) делится на 6
- Докажите, что если числа \(a\) и \(b\) не делятся на 3, но дают одинаковые остатки при делении на 3, то число \(ab-1\) делится на 3. Обратно, если \(ab-1\) делится на 3, то числа \(a\) и \(b\) не делятся на 3 и дают одинаковые остатки при делении на 3.
- Докажите, что если числа \(a\) и \(b\) не делятся на 3 и дают разные остатки при делении на 3, то число \(ab+1\) делится на 3. Обратно, если \(ab+1\) делится на 3, то числа \(a\) и \(b\) не делятся на 3 и дают разные остатки при делении на 3.
- Докажите, что если \(m\) и \(n\) – нечетные числа, то число \(m^2-n^2\) делится на 8.
- Докажите, что квадрат нечетного числа, уменьшенный на 1, делится на 8.
- Докажите, что сумма квадратов двух последовательных целых чисел, уменьшенная на 1, делится на 4.
- Докажите, что при любом нечетном \(n\) число \(n^3-n\) делится на 24.
- Докажите, что для того чтобы число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра делилась на 2.
- Докажите, что для того что число делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы число, записываемое его двумя последними цифрами, делилось на 4.
- Докажите, что для того чтобы число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа была 0 или 5.
- Докажите, что для того чтобы число делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы число, записываемое его тремя последними цифрами, делилось на 8.
- Докажите, что для того чтобы число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы его последняя цифра была 0.
- Докажите, что для того чтобы число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3.
- Докажите, что при любых неотрицательных целых \(n\) число \(3^{2n+2}+8n-9\) делится на 16