Теория чисел

Задачи 1-20

вернуться к содержанию

1. Докажите, что \(M=111…1 – 222…2\) (в правой части первое число состоит из \(2n\) единиц, второе число – из \(n\) двоек) при любом натуральном \(n\) является полным квадратом.
2. Найдите последнюю цифру числа \(3^{1999}\)
3. Расшифруйте равенство \(\overline{MM}+\overline{NKN}=\overline{PQQP}\), где буквами обозначены цифры в десятичной записи чисел.
4. Покажите, что число, имеющее в десятичной записи вид \(\overline{abcabc}\), где \(a\ne 0, b, c\) – цифры, делится на 7, на 11, на 13.
5. Пусть \(p\) – простое число и \(p>3\). Докажите, что \(p^2-1\) делится нацело на 24.
6. Пусть \(p, q\) – простые числа, \(p>q>3\) . Докажите, что \(p^2-q^2\) делится на 24.
7. Докажите, что число \(2^{10}+5^{12}\) является составным
8. Докажите, что число \(222^{333}+333^{222}\) не является простым.
9. В академическом собрании сочинений, включающем менее 20 томов, число томов с художественными произведениями кратно числу томов с письмами, которых, в свою очередь, в 3 раза меньше, чем томов с публицистикой. Если число томов с художественными произведениями увеличить в 2 раза, то их станет на 14 больше, чем томов с письмами. Сколько томов с публицистикой в собрании сочинений?
10. На заводе было несколько одинаковых прессов, штампующих детали, и завод выпускал 6480 деталей в день. После реконструкции все прессы заменили на более производительные, но тоже одинаковые, а их число увеличилось на 3. Завод стал выпускать в день 11200 деталей. Сколько прессов было первоначально?
11. За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5% в месяц, затем 12%, потом \(11\frac{1}{9}\)% и, наконец, 12,5% в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на \(104\frac{1}{6}\)%. Определите срок хранения вклада.
12. Доказать, что если сумма цифр числа \(m\) равна сумме цифр числа \(2m\), то \(m\) делится на 9.
13. Найдите цифру Х, при которой число \(\overline{5X793X4}\) делится нацело на 3.
14. Найдите все числа вида \(n=\overline{34X5Y}\) такие, что \(n\) делится без остатка на 36.
15. Докажите, что число \(3697^{3697}-1\) делится без остатка на 3696.
16. Докажите, что при любом натуральном \(n\) число \(n^3+2n\) делится на 3.
17. Докажите, что при любом целом неотрицательном \(n\) число \(11^{n+2}+12^{2n+1}\) делится на 133.
18. Найдите все натуральные числа, меньшие \(10^5\), которые делятся на 1999 и у которых сумма цифр в десятичной записи равна 25.
19. Остаток от деления некоторого натурального числа \(n\) на 6 равен 4, остаток от деления на 15 равен 7. Найдите остаток от деления числа на 30.
20. Докажите, что при любом целом \(m\) число \(m(m^2+5)\) делится без остатка на 6.