Решение текстовых задач на движение
Задачи 7 – 9
Весь список текстовых задач на движение здесь.
- Условие задачи: Поезд проходит мимо платформы за 32 с. За сколько секунд поезд проедет мимо неподвижного наблюдателя, если длина поезда равна длине платформы?
Решение: Пусть \(L\) м – длина платформы (и поезда), \(v\) м/c – скорость поезда, \(t\) с – время, за которое поезд проедет мимо неподвижного наблюдателя. Если начало поезда обозначить за точку А, то при прохождении поезда мимо платформы точка А проходит расстояние \(2L\) со скоростью поезда. Поэтому \(2L=32v\). Для случая с неподвижным наблюдателем верно равенство \(L=vt\). Из этих двух уравнений находим \(t=16\).
Ответ: 16 c - Условие задачи: Два поезда отправляются навстречу друг другу с постоянными скоростями, один из А в В, другой из В в А. Они могут встретиться на середине пути, если поезд из А отправится на 1,5 ч раньше. Если бы оба поезда вышли одновременно, то через 6 ч расстояние между ними составило бы десятую часть первоначального. Сколько часов каждый поезд тратит на прохождение пути между А и В?
Решение: Пусть расстояние между A и B равно \(S\), а скорости поездов равны \(v_1\) и \(v_2\) (первая скорость соответствует поезду, идущему из A в B). Если бы поезд из А отправился на 1,5 ч раньше, то за это время он прошел бы расстояние \(1,5v_1\), и между поездами было бы расстояние \(S-1,5v_1\). Тогда время встречи поездов \(t_1=\displaystyle\frac{S-1,5v_1}{v_1+v_2}\). За это время поезд из В в А проходит половину пути, то есть \(\displaystyle\frac{S}{2}=t_1v_2\). Значит, \(\displaystyle\frac{S}{2}=v_2\frac{S-1,5v_1}{v_1+v_2}\).
Если бы оба поезда вышли одновременно, то за 6 ч они прошли бы расстояния \(6v_1\) и \(6v_2\). Между ними оставалось бы расстояние, равное десятой части первоначального, то есть за 6 ч вместе они прошли бы \(0,9\) всего расстояние: \(6v_1+6v_2=0,9S\).
Получаем систему из двух уравнений. Так как необходимо найти \(\displaystyle\frac{S}{v_1}\) и \(\displaystyle\frac{S}{v_1}\), то разделим обе части первого уравнения на \(S^2\), а второго – на \(S\), и введем обозначения \(\displaystyle\frac{V_1}{S}=x\) и \(\displaystyle\frac{V_2}{S}=y\). Тогда \(\left\{\begin{array}{l l} y-x=3xy,\\ 6x+6y=0,9\end{array}\right.\).
Выразим из второго уравнения \(y\) и подставим в первое. Получим уравнение \(3x^2-2,45x-0,15=0\), откуда \(x=\displaystyle\frac{1}{15}\). Для второго корня \(x\) соответствующий \(y\) равен отрицательному числу, поэтому не подходит.
Ответ: 12 ч; 15 ч - Условие задачи: От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз на 96 км, потом повернул обратно и вернулся в А через 14 ч. Найти скорость катера в стоячей воде и скорость течения, если известно, что катер встретил плот на обратном пути расстоянии 24 км от А.
Решение: Пусть \(v\) км/ч – скорость катера в стоячей воде, \(v_1\) км/ч – скорость течение (скорость плота). Тогда скорость катера по течению равна \(v+v_1\) км/ч, следовательно, на путь вниз по течению катер затратил \(\displaystyle\frac{96}{v+v_1}\) ч, а на обратный путь \(\displaystyle\frac{96}{v-v_1}\) ч. Поэтому \(\displaystyle\frac{96}{v+v_1}+\frac{96}{v-v_1}=14\).
До момента встречи катер и плот двигались одно и то же время. При этом катер прошел 96 км по течению и \(96-24=72\) км против течения, а плот проплыл \(24\) км по течению. Получаем уравнение \(\displaystyle\frac{24}{v_1}=\frac{96}{v+v_1}+\frac{72}{v-v_1}\).
Таким образом, имеем систему из двух уравнений, которая после упрощения принимает вид: \(\left\{\begin{array}{l l} 96v=7v^2-6v_1^2,\\ 7vv_1=v^2\end{array}\right.\) Так как \(v\ne v_1\), то из второго уравнения \(v=7v_1\). Подставив в первое уравнение, находим \(v_1=2\).
Ответ: 2 км/ч