СУНЦ МГУ

Экзамен по математике для физ-мат 10 класс 2017

Апрель 2017 г

Условия задач с ответами

Вариант 1

1. Петя пошел в школу, чтобы успеть ровно к первому уроку. Через 5 минут после выхода, он обнаружил, что за ним увязался пёс Бобик. Петя отвел (с обычной скоростью) Бобика домой и понял, что опаздывает в школу.
   Поэтому он побежал и опоздал всего на 2 минуты на первый урок.
   Известно, что Петя бегает в два раза быстрее, чем ходит. Сколько времени у него обычно занимает дорога до школы?
2. Найти все пары натуральных чисел (p, q), такие , что квадрат числа р, умноженный на 9, больше квадрата числа q на 35.
3. Сумма первых 100 членов геометрической прогрессии S₁₀₀ = 10, а сумма первых 200 членов S₂₀₀ = 120. Найдите сумму первых 300 членов этой прогрессии.
4. На катетах прямоугольного треугольника АВС (∠С=90^о) во внешнюю сторону построены квадраты АКМС и ВСТР. Отрезок ВК пересекает катет АС в точке В₁, отрезок АР пересекает катет ВС в точке А₁. Найти угол А₁В₁С. Решение
5. Найдите сумму действительных корней уравнения \((x^2+\displaystyle\frac{1}{x^2})+100(x-\frac{1}{x})+111=0\)

Вариант 2

1. Коля пошел в школу, чтобы успеть ровно к первому уроку. Через 6 минут после выхода, он обнаружил, что забыл дома свой смартфон. Коля вернулся (с обычной скоростью) домой, взял смартфон и понял, что опаздывает в школу. Поэтому он побежал и опоздал всего на 5 минут на первый урок.
   Известно, что Коля бегает в полтора раза быстрее, чем ходит. Сколько времени у него обычно занимает дорога до школы?
2. Найти все пары натуральных чисел (m, n), такие, что квадрат числа m, умноженный на 16, больше квадрата числа n на 55.
3. Сумма первых 50 членов геометрической прогрессии S₅₀ = 20, сумма первых 100 членов S₁₀₀ = 25. Найдите сумму первых 150 членов этой прогрессии.
4. На катетах прямоугольного треугольника АВС (∠С=90^о) во внешнюю сторону построены квадраты АКМС и ВСТР. Отрезок ВК пересекает катет АС в точке В₁, отрезок АР пересекает катет ВС в точке А₁. Найти отношение В₁С : А₁С.
5. Найдите сумму действительных корней уравнения \((x^2+\displaystyle\frac{1}{x^2})+150(x-\frac{1}{x})+99=0\)

Ответы

Вариант 1

1. 16 мин
2. (2;1), (6;17)
3. 1330
4. 45^o
5. -100

Вариант 2

1. 21 мин
2. (2;3), (7;27)
3. 26,25
4. 1:1
5. -150

смотрите еще Вступительные экзамены и МГУ. Дополнительное вступительное испытание 2013