Студенческая олимпиада МФТИ 1995
Условия задач с ответами
1.1 Может ли график непрерывной функции \(f:R\to R\) пересекать каждую невертикальную прямую бесконечное число раз?
1.2 Существует ли непрерывная при \(x>1\) функция \(f\), удовлетворяющая уравнению \((x^2-x)(f(x^2)+f(x))=1\)?
2. Существует ли непрерывно дифференцируемая функция \(f:R\to R\), удовлетворяющая условиям \(|f(x)|<2\) и \(f(x)f'(x)\ge\sin x\) для любого \(x\in R\)?
3. Пусть \(f_1,…,f_n\) – линейно независимая система непрерывно дифференцируемых на отрезке [0;1] функций. Докажите, что среди произвольных \(f’_1,…,f’_n\) найдутся \(n-1\) линейно независимых функций.
4. Найдите предел \(\lim_{n\to\infty}(\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{1}{C_n^{k}})^n\)
5. Докажите, что при \(x^2+y^2+z^2=1\) определитель матрицы \(\begin{pmatrix}1&1&1\\x&y&z\\x^2&y^2&z^2\end{pmatrix}\) меньше 1.
6.1 Определите сумму двух множеств на евклидовой плоскости: \(A+B=\{x\in R^2|x=a+b,a\in A,b\in B\}\). Пусть \(A=B_r(a)\cap B_r(-a)\), где \(B_r(a)=\{x\in R^2|||x-a||\le r\}\) – круг радиуса \(r>0\) с центром в точке \(a\), \(||a||<r\). Доказать, что найдутся такие точки \(b_1\) и \(b_2\), что \(A+((B_r(b_1)\cap B_r(b_2))=B_r(0)\).
6.2 Для множеств на комплексной плоскости определим операции сложения и умножения \(A+B=\{z\in C|z=a+b,a\in A,b\in B\}\), \(A\cdot B=\{z\in C|z=ab,a\in A,b\in B\}\). Пусть \(A=\{z||z|=\displaystyle\frac{1}{1995}\}\). Найдите хотя бы одно решение уравнения \(A+X=A\cdot X\), удовлетворяющее условию \(0\notin X\).
1.1 Да
1.2. Да
2. Нет
4. \(e^2\)
6.2 Например, \(X=\{z||z|\ge\displaystyle\frac{1}{1994}\}\)
к разделу Олимпиадные студенческие задачи