Свойства обратных тригонометрических функций

к содержанию справочника

Кратко

\(\arcsin{x}\in\displaystyle[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\)

\(\arccos{x}\in[0;\pi]\)

\(\mathrm{arctg}{x}\in\displaystyle(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})\)

\(\mathrm{arcctg}{x}\in(0;\pi)\)

\(\arcsin(-x)=-\arcsin{x}\)

\(\arccos(-x)=\pi-\arccos{x}\)

\(\mathrm{arctg}(-x)=-\mathrm{arctg}{x}\)

\(\mathrm{arcctg}(-x)=\pi-\mathrm{arcctg}{x}\)

\(\arcsin{x}+\arccos{x}=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)

\(\mathrm{arctg}x+\mathrm{arcctg}{x}=\displaystyle\frac{\pi}{2}\)

Подробно

Арксинус \(\arcsin{x}\)

Арксинусом числа \(a\) из промежутка \([-1;1]\) называется число \(x\) из промежутка \(\displaystyle[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\), синус которого равен \(a\), то есть \(\sin{x}=a\).

1. \(D=[-1;1]\), \(E=\displaystyle[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]\)
2. Функция \(y=\arcsin{x}\) нечетная, то есть \(\arcsin(-x)=-\arcsin{x}\)
3. Функция обращается в ноль в единственной точке \(x=0\). Она положительна на промежутке \((0;1]\) и отрицательна на промежутке \([-1;0)\)
4. Функция возрастает от \(\displaystyle-\frac{\pi}{2}\) до \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) на всей области определения
5. Функция принимает наименьшее значение \(y=\displaystyle-\frac{\pi}{2}\) при \(x=-1\) и наибольшее значение \(y=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) при \(x=1\)
6. Примеры: \(\arcsin\frac{1}{2}=\frac{\pi}{6}\), \(\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{\pi}{3}\)

Арккосинус \(\arccos{x}\)

Арккосинусом числа \(a\) из промежутка \([-1;1]\) называется число \(x\) из промежутка \([0;\pi]\), косинус которого равен \(a\), то есть \(\cos{x}=a\).

1. \(D=[-1;1]\), \(E=[0;\pi]\)
2. Функция \(y=\arccos{x}\) ни четная, ни нечетная
3. \(\arccos(-x)=\pi-\arccos{x}\)
4. Функция обращается в ноль в единственной точке \(x=1\). Она положительна на промежутке \([-1;1)\)
5. Функция убывает от \(\pi\) до \(0\) на всей области определения
6. Функция принимает наименьшее значение \(y=0\) при \(x=1\) и наибольшее значение \(y=\pi\) при \(x=-1\)
7. Примеры: \(\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{6}\), \(\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{3\pi}{4}\), \(\arccos(-1)=\pi\)

Арктангенс \(\mathrm{arctg}{x}\)

Арктангенсом числа \(a\) называется число \(x\) из промежутка \(\displaystyle(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})\), тангенс которого равен \(a\), то есть \(\mathrm{tg}{x}=a\).

1. \(D=(-\infty;+\infty)\), \(E=\displaystyle(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})\)
2. Функция \(y=\mathrm{arctg}{x}\) нечетная, то есть \(\mathrm{arctg}(-x)=-\mathrm{arctg}{x}\)
3. Функция обращается в ноль в единственной точке \(x=0\). Она положительна на промежутке \((0;+\infty)\) и отрицательна на промежутке \((-\infty;0)\)
4. Функция возрастает на всей области определения
5. Функция наибольшего и наименьшего значений не имеет
6. Примеры: \(\mathrm{arctg}{0}=0\), \(\mathrm{arctg}\sqrt{3}=\frac{\pi}{3}\), \(\mathrm{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})=-\frac{\pi}{6}\)

Арккотангенс \(\mathrm{arcctg}{x}\)

Арккотангенсом числа \(a\) называется число \(x\) из промежутка \((0;\pi)\), котангенс которого равен \(a\), то есть \(\mathrm{ctg}{x}=a\).

1. \(D=(-\infty;+\infty)\), \(E=(0;\pi)\)
2. Функция \(y=\mathrm{arcctg}{x}\) ни четная, ни нечетная
3. \(\mathrm{arcctg}(-x)=\pi-\mathrm{arcctg}{x}\)
4. Функция в ноль не обращается. Она положительна на всей области определения
5. Функция убывает на всей области определения
6. Функция наибольшего и наименьшего значений не имеет
7. Примеры: \(\mathrm{arcctg}{(-1)}=\frac{3\pi}{4}\), \(\mathrm{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})=-\frac{\pi}{3}\)