Применение определенного интеграла
перейти к содержанию справочника
Площадь криволинейной трапеции
Если \(f(x)\ge0\), то \(S=\int\limits_a^{b}f(x)dx\)
Площадь фигуры, ограниченной линиями \(y=f(x)\), \(y=g(x)\), \(x=a\), \(x=b\)
\(S=\int\limits_a^{b}|f(x)-g(x)|dx\)
Площадь криволинейного сектора в полярных координатах
\(S=\displaystyle\frac{1}{2}\int\limits_{\alpha}^{\beta}r^2(\varphi) d\varphi\)
Объем фигуры через площади попереченых сечений
\(V=\int\limits_a^{b}S(x)dx\)
Объем фигуры, полученной вращением криволинейной трапеции
Вокруг оси \(Ox\): \(V=\pi\int\limits_a^{b}f^2(x)dx\)
Вокруг оси \(Oy\): \(V=2\pi\int\limits_a^{b}xf(x)dx\)
Длина кривой \(y=f(x)\), \(a\le x\le b\)
\(L=\int\limits_a^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2}dx\)
Длина кривой на плоскости, заданной параметрически
\(x=x(t)\), \(y=y(t)\), \(\alpha\le t\le\beta\)
\(L=\int\limits_{\alpha}^{\beta}\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt\)
Длина кривой в пространстве, заданной параметрически
\(x=x(t)\), \(y=y(t)\), \(z=z(t)\), \(\alpha\le t\le\beta\)
\(L=\int\limits_{\alpha}^{\beta}\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2+(z'(t))^2}dt\)
Длина кривой в полярных координатах
\(r=r(\varphi)\), \(\alpha\le\varphi\le\beta\)
\(L=\int\limits_{\alpha}^{\beta}\sqrt{(r(\varphi))^2+(r'(\varphi))^2}d\varphi\)
Площадь поверхности фигуры вращения
Вращение кривой \(y=f(x)\), \(a\le x\le b\) вокруг оси \(Ox\)
\(S=2\pi\int\limits_a^{b}f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}dx\)
Вращение кривой \(x=x(t)\), \(y=y(t)\), \(\alpha\le t\le\beta\) вокруг оси \(Ox\)
\(S=2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}y(t)\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt\)
Центр масс кривой \(y=f(x)\), \(a\le x\le b\), \(p=p(x)\) – плотность кривой
Масса \(m=\int\limits_a^{b}p(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}dx\)
Статический момент относительно оси \(Ox\) \(M_x=\int\limits_a^{b}p(x)f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}dx\)
Статический момент относительно оси \(Oy\) \(M_y=\int\limits_a^{b}p(x)x\sqrt{1+(f'(x))^2}dx\)
Координаты центра масс
\(x_0=\displaystyle\frac{M_y}{m}\) \(\quad\) \(y_0=\displaystyle\frac{M_x}{m}\)
Центр масс криволинейной трапеции (плотность \(p\) постоянна)
Масса \(m=p\int\limits_a^{b}f(x)dx\)
Статический момент относительно оси \(Ox\) \(M_x=\displaystyle\frac{p}{2}\int\limits_a^{b}f^2(x)dx\)
Статический момент относительно оси \(Oy\) \(M_y=p\int\limits_a^{b}xf(x)dx\)
Координаты центра масс
\(x_0=\displaystyle\frac{M_y}{m}\) \(\quad\) \(y_0=\displaystyle\frac{M_x}{m}\)
Физические приложения определенного интеграла
Путь, пройденный телом со скоростью \(v=v(t)\) за промежуток времени \([t_1;t_2]\)
\(S=\int\limits_{t_1}^{t_2}v(t)dt\)
Работа переменной силы, заданной функцией \(y=F(x)\) и направленной вдоль оси \(Ox\) на отрезке \([a;b]\)
\(A=\int\limits_{a}^{b}F(x)dx\)