Справочник по математике
Линии второго порядка
- \(\quad\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) – эллипс
- \(\quad\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) – гипербола
- \(\quad y^2=2px\) – парабола
- \(\quad\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1\) – мнимый эллипс
- \(\quad\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0\) – пара мнимых пересекающихся прямых
- \(\quad\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0\) – пара действительных пересекающих прямых
- \(\quad x^2-a^2=0\) – пара действительных параллельных прямых
- \(\quad x^2+a^2=0\) – пара мнимых параллельных прямых
- \(\quad x^2=0\) – пара совпадающих действительных прямых
Приведение уравнения к каноническому виду
\(Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0\)
С помощью уравнения \(\mathrm{tg}{2\alpha}=\displaystyle\frac{2B}{A-C}\) находим \(\sin\alpha\) и \(\cos\alpha\). Если \(A=C\), то можно считать \(\alpha=\displaystyle\frac{\pi}{4}\). Далее переходим к новым координатам с помощью равенств
\(x=x_1\cos\alpha-y_1\sin\alpha\) и \(y=x_1\sin\alpha+y_1\cos\alpha\).
Получим уравнение без слагаемого, содержащего \(xy\). При этом мы перешли к новой системе координат, полученной из старой поворотом ее вокруг начала координат на угол \(\alpha\). Далее при необходимости выделяем полные квадраты и осуществляем параллельный сдвиг координатных осей.