Комплексные числа

содержание справочника

Алгебраическая форма

\(z=a+bi\), где \(i\) – мнимая единица, \(i^2=-1\)

\(a=\mathrm{Re} z\) – действительная часть

\(b=\mathrm{Im} z\) – мнимая часть

\(\overline{z}=a-bi\) – сопряженное к \(z\)

\(i^{4n}=1\), \(i^{4n+1}=i\), \(i^{4n+2}=-1\), \(i^{4n+3}=-i\), \(n\in N\)

Тригонометрическая форма

\(z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\)

\(r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}\) – модуль

\(\varphi=arg z\), \(-\pi<\varphi\le\pi\) – главное значение аргумента

\(\cos\varphi=\displaystyle\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\), \(\sin\varphi=\displaystyle\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\), \(\mathrm{tg}\varphi=\displaystyle\frac{b}{a}\)

\(z_1z_2=r_1r_2(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2))\)

\(\displaystyle\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}(\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2))\)

\(\overline{z}=r(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi))\)

Формула Муавра

\((r(\cos\varphi+i\sin\varphi))^n=r^n(\cos{n\varphi}+i\sin{n\varphi})\)

Извлечение корня

\(\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\left(\cos\displaystyle\frac{\varphi+2\pi k}{n}+i\sin\frac{\varphi+2\pi k}{n}\right)\), \(k=0,1,…,n-1\)

Экспоненциальная форма

\(z=re^{i\varphi}\)

Свойства сопряженных чисел

1. \(\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}\)
2. \(\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}\)
3. \(\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}\)
4. \(\overline{\left(\displaystyle\frac{z_1}{z_2}\right)}=\displaystyle\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\)
5. \(\overline{z^n}=(\overline{z})^n\)
6. \(z\cdot\overline{z}=|z|^2\)

Свойства модуля

1. \(|\overline{z}|=|z|\)
2. \(|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot|z_2|\)
3. \(|z^n|=|z|^n\)
4. \(\left|\displaystyle\frac{z_1}{z_2}\right|=\displaystyle\frac{|z_1|}{|z_2|}\)
5. \(|z_1|-|z_2|\le|z_1+z_2|\le|z_1|+|z_2|\)
6. \(|z_1|-|z_2|\le|z_1-z_2|\le|z_1|+|z_2|\)