Справочник по математике
Числовые ряды
Необходимое условие сходимости ряда
\[\lim_{n\to\infty}a_n=0\]
Признаки сходимости для положительных рядов
Признак сравнения
Если \(0\le a_n\le b_n\) для любого \(n\in N\), то из сходимости ряда \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n\) следует сходимость ряда \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\), а из расходимости ряда \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) следует расходимость ряда \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n\)
Предельный признак сравнения
Если \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=p\), то при \(0<p<+\infty\) ряды \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) и \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n\) или оба сходятся, или оба расходятся. При \(p=0\) из сходимости ряда \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n\) следует сходимость ряда \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\). При \(p=+\infty\) из расходимости ряда \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n\) следует расходимость ряда \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)
Степенной признак
Если \(a_n\sim\displaystyle\frac{c}{k^{\alpha}}\) при \(n\to\infty\), \(c>0\), то при \(\alpha>1\) ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) сходится, при \(\alpha\le1\) ряд расходится
Признак Даламбера
Если \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=q\), то при \(0\le q<1\) ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) сходится, при \(q>1\) расходится
Признак Коши
Если \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=q\), то при \(0\le q<1\) ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) сходится, при \(q>1\) расходится
Признак Раабе
Если \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)=q\), то при \(q>1\) ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) сходится, при \(q<1\) расходится
Интегральный признак
Если функция \(y=f(x)\) убывает на \([1;+\infty)\) и неотрицательна, то ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}f(n)\) сходится или расходится вместе с интегралом \(\int\limits_{1}^{+\infty}f(x)dx\)
Признаки сходимости знакопеременных рядов
Признак Лейбница
Ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n\), где \(a_n>0\), сходится, если \((a_n)\) монотонно стремится к нулю
Признак Абеля
Если \((a_n)\) монотонна и ограничена, а ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n\) сходится, то сходится ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n\)
Признак Дирихле
Если \((a_n)\) монотонно стремится к нулю, а частные суммы ряда \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n\) ограничены, то ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n\) сходится