Задача 8 экзамена МГУ, физический факультет в 2004 г

Условие задачи

Сторона KL прямоугольника KLMN служит высотой конуса с вершиной L, радиус основания этого конуса в три раза длиннее отрезка NK, KL = 6. Шар касается плоскости прямоугольника KLMN в точке M и имеет единственную общую точку с конусом. Найдите радиус шара.

Решение

Обозначим за LF образующую конуса, точка Q – основание перпендикуляра, опущенного из точки К на LF. Проведем плоскость через LF перпендикулярно KQ. Эта плоскость является касательной к конусу. Если шар имеет только одну общую точку с поверхностью конуса и расположен вне конуса, то в сечении шара плоскостью, проходящей через ось конуса и центр шара, получится круг, касающийся стороны осевого сечения.

Ответ: 2