Решение пробного ЕГЭ 2015 по математике (март) Профильный уровень 11 класс

перейти к условиям задач

1. Так как скидка 5%, то новая цена (цена со скидкой) составляет 95% от старой, то есть необходимо найти 100%, если 95% соответствует 3325 копейкам. Это \(\displaystyle\frac{3325}{95}\cdot 100=3500\) копеек, то есть ровно 35 рублей.
2. Так как 15 октября наибольшая температуры была 11 градусов (в 12-00), а наименьшая 6 градусов (в 00-00), то искомая разность равна 11-6=5 градусов Цельсия.
3. Грузовик проедет 87 км, поэтому затратит \(\displaystyle\frac{87}{58}=1,5\) часа. Автобус проедет 84 км, поэтому затратит \(\displaystyle\frac{84}{48}=1,75\) часа. Легковой автомобиль проедет 117 км, поэтому затратит на этот путь \(\displaystyle\frac{117}{52}=2,25\) ч, что больше чем 1,5 часа и 1,75 часа.
4. Площадь круга равна \(\pi r^2\), площадь сектора равна \(\frac{1}{2}\alpha r^2\), где \(\alpha\) – угол сектора (в радианах!). Так как угол заштрихованного сектора равен \(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\), то \(\displaystyle\frac{1}{2}\frac{3\pi}{2}r^2=45\), откуда \(\pi r^2=60\).

5. Длина дуги окружности циферблата, соответствующая промежутку от 6 до 12, равна половине длины окружности. То есть искомая вероятность равна 0,5.
6. Применим формулу сокращенного умножения (точнее, квадрат суммы) к правой части уравнения: \(x^2-15=x^2+2x+1\). Тогда \(x^2\) уничтожаются и уравнение принимает вид: \(2x=-16\), откуда \(x=-8\).
7. По теореме Пифагора \(BC=\sqrt{25-21}=2\), тогда искомый косинус равен \(\displaystyle\frac{2}{5}=0,4\). На всякий случай про себя отмечаем, что получилось число меньше единицы (иначе точно ошибка). Если вы находите какие-нибудь характеристики треугольника, то всегда можно проверить себя здесь.
8. Здесь надо понимать, что \(F(b)-F(a)\), где \(F(x)\) – одна из первообразных, это определенный интеграл на отрезке \([a,b]\) (формула Ньютона-Лейбница). А геометрически такой определенный интеграл равен площади под графиком. В нашем случае, под графиком находится прямоугольная трапеция с высотой, равной 3, и основаниями, равными 1 и 4. Ее площадь равна \(\displaystyle\frac{1+4}{2}\cdot 3=7,5\).
9. Площадь полной поверхности конуса состоит из площади основания и площади боковой поверхности, то есть \(S=\pi r^2+\pi r l\), где \(r\) – радиус основания конуса, \(l\) – образующая конуса. Тогда \(\pi r^2+\pi r l =24\). При проведении сечения образуется конус с радиусом основания и образующей, вдвое меньшими, чем у исходного конуса, поэтому полная площадь поверхности этого конуса равна \(\displaystyle\frac{\pi r^2}{4}+\frac{\pi r l}{4}=\frac{24}{4}=6\)
10. \(8\cdot 16^{\displaystyle\frac{1}{5}}\cdot 16^{\displaystyle\frac{1}{20}}=8\cdot 16^{\displaystyle\frac{1}{5}+\frac{1}{20}}=8\cdot 16^{\displaystyle\frac{1}{4}}=8\cdot 2=16\)
11. \(80\cdot 90\cos\alpha\ge 3600\), то есть \(\cos\alpha\ge\frac{1}{2}\). Так как угол первой четверти, то при увеличении угла косинус убывает, поэтому \(\alpha\le 60\). Значит, наибольшее значение угла равно 60 градусам.
12. скоро
13. Средняя скорость есть отношение всего пройденного пути на все потраченное на этот путь время. Не путать со средней арифметической скоростью, которая равна сумме скоростей на каждом участке, деленной на количество участков. Весь путь равен \(110+100+150=360\) км. Все время состоит из трех составляющих, потраченных на каждом участке, и равно \(\displaystyle\frac{110}{60}+\frac{100}{90}+\frac{150}{100}=\frac{80}{18}=\frac{40}{9}\). Тогда средняя скорость равна \(\displaystyle\frac{3240}{40}=81\) км/ч.
14. Первый способ: выделим под логарифмом полный квадрат: \(y=\log_3(-7+8x-x^2+16-16)+8\Leftrightarrow y=\log_3(9-(x-4)^2)+8\). Так как основание логарифма \(3>1\), то при убывании выражения \(9-(x-4)^2\) логарифм также убывает. Но \((x-4)^2\ge 0\) при любом \(x\), поэтому \(9-(x-4)^2\le 9\) при любом \(x\). Значит, наибольшее значение будет при \(x=4\) (именно в этом случае достигается 9). Тогда \(y_{max}=\log_39+8=10\).
    Второй способ: найдем производную функции \(y’=\displaystyle\frac{1}{\ln 3}\cdot\frac{1}{-7+8x-x^2}\cdot (-2x+8)\) и приравняем к нулю с учетом области определения исходной функции. Через найденный \(x=4\) производная меняет знак с плюса на минус. Осталось подстановкой определить наибольшее значение функции.
15. Для решения нам понадобятся формулы приведения и основное тригонометрическое тождество.
    а) После применения формулы приведения к правой части получаем уравнение \(ctg^2 x+2\sqrt{3}ctg x+3\sin^2 x=-3\cos^2 x\). Так как \(3\sin^2 x+3\cos^2 x=3\),  то приходим к квадратному относительно \(ctg x\) уравнению \(ctg^2 x+2\sqrt{3}ctg x+3=0\). Причем новое уравнение равносильно исходному, то есть ни потеря корней, ни появление новых не произошли. Получаем, что \(ctg x=-\sqrt{3}\Leftrightarrow x=-\displaystyle\frac{\pi}{6}+\pi n, n\in Z\).
    б) Для нахождения решений на данном отрезке решим двойное неравенство относительно \(n\in Z\): \(-\displaystyle\frac{11\pi}{2}\le -\frac{\pi}{6}+\pi n\le -4\pi\). Сократим все слагаемые на \(\pi\) и домножим на \(6\). Тогда \(-33\le -1+6n\le-24\), откуда \(-\displaystyle\frac{16}{3}\le n\le-\frac{23}{6}\). Так как \(n\) – целое число, то \(n=-4\) или \(n=-5\). Подставляем в формулу решений уравнения и находим два конкретных угла.

смотрите еще Досрочный ЕГЭ март, 2015 по математике с ответами и решениями