Решение ЕГЭ 2015 по математике октябрь 2014

Пробный вариант, базовый уровень

перейти к условиям задач

1. \((\frac{11}{10}-\frac{4}{11}):\frac{15}{44}=\frac{11\cdot 11 – 4\cdot 10}{10\cdot 11}\cdot\frac{44}{15}\)\(=\frac{81}{10\cdot 11}\cdot\frac{44}{15}=\frac{27}{5}\cdot\frac{2}{5}=\frac{54}{25}=2,16\)
2. \(\frac{1,6\cdot 10^{2}}{4\cdot 10^{-2}}=\frac{16\cdot 10}{4\cdot 10^{-2}}=4\cdot 10^{1+2}=4\cdot 10^3=4000\)
3. После уплаты налога Мария Константиновна получила 100%-13%=87% от заработной платы, то есть 6960 руб. Тогда заработная плата (это 100%) равна \(\frac{6960}{87}\cdot 100 = 8000\) руб.
4. \(\sqrt[3]{12\cdot 18 \cdot 27}=\sqrt[3]{3\cdot 2^2\cdot 3^2 \cdot 2 \cdot 3^3}=\sqrt[3]{3^6\cdot 2^3}=3^2\cdot 2=18\)
5. \(6^{5\log_6{3}}=6^{\log_6{3^5}}=3^5=243\)
6. Разделим с остатком 500 на 50. Получим 10. То есть наибольшее число хризантем, которое может купить Ваня, равно 10. Но так как 10 – четное число (делится на 2), а букет должен состоять из нечетного числа цветов по условию, то Ваня может купить букет  из 9 цветов, и это наибольшее число хризантем.
7. \(\sqrt{16-4x}=2 \Leftrightarrow (\sqrt{16-4x})^2=2^2 \Leftrightarrow 16-4x=4 \Leftrightarrow 4x=12 \Leftrightarrow x=3\)
8. Пять спиц разбивают круг на пять одинаковых секторов, значит, у секторов одинаковые углы. Вся окружность образует 360 градусов, значит, дуга одного сектора содержит \(\frac{360}{5}=72\) градуса, и этому же значению равен центральный угол одного сектора.
9. Достаточно вспомнить, что 1 т = 1000 кг, а 1 кг = 1000 г
10. Пусть событие C = {магазин А не доставит товар}, событие D = {магазин Б не доставит товар}. Необходимо найти P(CD), где CD – произведение событий C и D и есть событие = {ни один из магазинов A и Б не доставит товар}. Так как события C и D независимы по условию, то P(CD)=P(C)P(D). Осталось заметить, что P(C)=1-0,82=0,18 и P(D)=1-0,8=0,2. Тогда P(CD)=0,18\(\cdot\)0,2=0,036
11. Необходимо выбрать точку с наибольшим значением ординаты, то есть значением на оси oY (вертикальная ось). По-простому, это точка находится на наибольшей высоте по отношению к горизонтальной оси (оси Ох).
12. Задача решается банальным перебором (хотя можно перебор несколько сократить, откинув заведомо неподходящие варианты)
13. Объем цилиндра равен \(\pi R^2 H\), где \(H\) – высота цилиндра, \(R\) – радиус основания цилиндра. Пусть высота первой кружки равна \(H\), тогда высота второй кружки равна \(3H/2\). И пусть радиус основания первой кружки равен \(R\), тогда радиус для второй кружки равен \(2R\). Отношение объемов (первой кружки к объему второй) будет равно \(\displaystyle\frac{\pi R^2 H\cdot 2}{\pi 4R^2\cdot 3H} = \frac{1}{6}\). То есть ответ: в 6 раз.
14. Стоит вспомнить, что тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс есть значение производной функции в точке касания. Отсюда следует, что если угол острый, то значение производной положительно, а если угол тупой, то значение отрицательно. Поэтому уже можно сказать, что, например, для точки К варианты 1) и 4) не подходят. Еще следует знать, что если угол увеличивать (в диапазоне от 0 до \(\pi/2\) или в диапазоне от \(\pi/2\) до \(\pi\)), то тангенс также будет расти. Поэтому для точки К подходит вариант 2), так как для точки N угол меньше, поэтому и значение производной в точке N должно быть меньше значения производной в точке К. Аналогичный анализ и для остальных точек.
15. Медиана BM является высотой, так как треугольник равнобедренный и медиана проведена к основанию. Площадь треугольника равна \(AC\cdot BM/2=12\sqrt{7}\), значит, \(AC = 4\sqrt{7}\) и AM = AC/2 = \(2\sqrt{7}\). Осталось по теореме Пифагора для треугольника ABM найти AB.
16. Площадь поверхности шара радиуса \(R\) равна \(4\pi R^2\). Поэтому отношение площадей равно \(\displaystyle\frac{4\pi \cdot 25}{4\pi \cdot 1}=25\). То есть в 25 раз.
17. Можно поступить так: добросовестно каждое неравенство решить и выбрать решения. Так стоит делать до экзамена в качестве тренировки. Второй же способ: подставлять конкретные значения вместо х и отсеивать варианты пока не останется один. Например, для первого неравенства возьмем x = 0 – это решение неравенства (так как 4/(-1) < 0 ), поэтому 3 и 4 варианты исключаются. Подставим еще x = 1.01, то есть число, чуть большее единицы. Это не решение, так как дробь получается положительной. Поэтому еще один вариант исключается. Аналогично для остальных неравенств.