Решение демонстрационного варианта ГИА (ОГЭ) по математике 2015

10 ноября 2014

Условия задач здесь

1. \(\frac{1}{4}+0,07=0,25+0,07=0,32\) Для тренировки арифметических навыков можно порешать задачи здесь или даже в виде игр здесь
2.  На рисунке точка А находится левее 10, значит, \(A<10\). И правее точки О, значит, \(A>0\). Так как \(16\cdot 10 = 160 < 181\), то есть \(\frac{181}{16}>10\), то первый вариант ответа не может быть правильным. Далее по рисунку точка А находится правее середины отрезка [0; 10]. То есть \(A>5\). Поэтому варианты 3) и 4) тоже исключаются. Видимо, правильным ответом является вариант 2). Но для строгого решения необходимо  заметить, что \(36<37<49\) , то есть \(6<\sqrt{37}<7\).  Это авторский материал сайта www.itmathrepetitor.ru
3. Рациональное число представимо в виде дроби с натуральным знаменателем и целым числителем. Например, \(\frac{-3}{2}\) или \(4=\frac{4}{1}\). Разность (или сумма) иррационального числа и рационального является числом иррациональным (кстати, подумайте, каким числом является сумма двух иррациональных чисел). Поэтому вариант 1) не рациональное число, так как \(\sqrt{6}\) – иррациональное. Остальные варианты следует сначала упростить: 2) \(\sqrt{15}\); 3)\(5\); 4) \((\sqrt{6})^2-2\cdot 3\cdot \sqrt{6}+3^2=6-6\sqrt{6}+9=15-6\sqrt{6}\). То есть ответ 3).
4. В уравнении при переносе слагаемого из одной части в другую слагаемое меняет знак. Поэтому \(7x-9=40 \Leftrightarrow 7x=49 \Leftrightarrow x=7\)
5. Возьмем \(x=1\) и подставим в функции, а затем определим на каждом графике ординату точки с таким \(x\). Функции: 1) \(y=1^2=1\); 2) \(y=\frac{1}{2}\); 3) \(y=\frac{2}{1}=2\). Графики: А) \(y=1\); Б) \(y=2\); В) \(y=\frac{1}{2}\). Заметим, что точка \(x\) выбрана так, чтобы все три значения \(y\) получились различными (если не угадали, то выберем другое значение \(x\)). Осталось собрать пары с одинаковыми значениями \(y\): A – 1, Б – 3, В – 2.
   Второй способ решения: все-таки по школьной программе у ученика должен быть минимум знаний по теме “Функции”, а именно представления о том, как выглядят парабола, гипербола и прямая графически и аналитически (то есть вид формулы). Так как все три графика здесь разных типов, то остается собрать пары без каких-либо вычислений. Это авторский материал сайта www.itmathrepetitor.ru
6. Данная последовательность является арифметической прогрессией с \(a_1=6\) и разностью \(d=4\). Поэтому \(a_{15}=6+4(15-1)=62\), так как в арифметической прогрессии \(a_n=a_1+d\cdot(n-1)\). Смотрите формулы по прогрессиям, если не все помните.
7. Обычно в такого типа задачах не следует спешить с подстановкой значений вместе переменных, а лучше предварительно упростить выражение (например, сократить дробь, раскрыть скобки и привести подобные – конкретные действия зависят от условия задачи). В этом примере мы приведем слагаемые к общему знаменателю и упростим числитель новой дроби: \(9b+\frac{5a-9b^2}{b}=\frac{9b^2+5a-9b^2}{b}=\frac{5a}{b}=\frac{5\cdot 9}{36}=\frac{5}{4}=1,25\)
8. Из первого неравенства системы получаем, что \(x\le -2,6\), а из второго следует, что \(x\ge -4\). Так как неравенства образуют систему, то необходимо найти такие \(x\), которые были бы решениями каждого из этих двух неравенств. Графически это означает, что решения образуют промежуток, на котором присутствуют обе штриховки. Осталось заметить, что первая штриховка слева от точки -2,6, а вторая справа от точки -4. Общая часть есть промежуток от -4 до 2,6 включая границы. То есть ответ 2) Это авторский материал сайта www.itmathrepetitor.ru
9. Угол АСВ равен 180^о-123^о=57^о (так как смежные углы в сумме дают 180^о). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. То есть угол ВАС равен углу АСВ.
10. Расстояние от центра окружности до хорды – это длина перпендикуляра от центра до хорды. Основание этого перпендикуляра делит хорду пополам. Осталось соединить центр окружности с концом хорды и в полученном прямоугольном треугольнике найти неизвестный катет (это половина хорды), если гипотенуза равна 13 (это радиус) и известный катет равен 5. Это авторский материал сайта www.itmathrepetitor.ru
11. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Основания трапеции равны 7 и 9+12=21, а высота равна 12. Если вы забыли формулу площади трапеции, но помните формулы площади прямоугольника и треугольника, то можно разрезать трапецию на два треугольника и прямоугольник, опустив для этого вторую высоту в трапеции из второго конца меньшего основания.
12. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике по определению есть отношение противолежащего катета к прилежащему, то есть \(\frac{AB}{OA}\). По рисунку можно определить, что катет AB в два раза больше катета ОА. Это авторский материал сайта www.itmathrepetitor.ru
13. Комментарии для 2). В любом треугольнике сумма двух сторон больше третьей. Поэтому для проверки существования треугольника достаточно проверить истинность неравенств 1 + 2 > 4,  1+4>2 и 2+4>1. Комментарии для 3). Так как в ромбе все стороны равны и сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180^о, то ромб с углом 90^о является квадратом. Комментарии к 4). Диагонали равны только у параллелограмма, который является прямоугольником.
16. Скидка 50% означает уменьшение цены в 2 раза, то есть билет для школьников стоил 99 рублей. Стоимость проезда группы равна \(12\cdot 99+4\cdot 198 = 1188+792=1980\) рублей. Это авторский материал сайта www.itmathrepetitor.ru
17. Эти решения – материал сайта itmathrepetitor.ru. На картинке изображена прямоугольная трапеция (крайние столбы – ее основания, то есть она расположена на боковой стороне). Заметим, что средний столб является средней линией данной трапеции (по условию дано,что расстояния между столбами одинаковы). Значит, его длина равна полусумме длин крайних столбов, то есть \(90 = \displaystyle\frac{60+x}{2}\), откуда \(x=120\).
19. Всего способов выбрать один пирожок 4+8+3=15. Выбрать один пирожок именно с яблоками можно 3 способами. Значит, искомая вероятность равна \(\displaystyle\frac{3}{15}=\frac{1}{5}=0,2\). Примеры решения таких задач можно найти здесь.
20. Так как \(3=2\sqrt{l}\) и \(9=4l\), то \(l=\displaystyle\frac{9}{4}=2,25\)
21. В такого типа задачах нам могут понадобиться свойства: \(a^n\cdot a^m=a^{n+m}\), \((a^n)^m=a^{n\cdot m}\), \((a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n\), \(\displaystyle\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\) и \(a^{-n}=\displaystyle\frac{1}{a^n}\). Заметим, что \(18^{n+3}=(3^2\cdot 2)^{n+3}=(3^2)^{n+3}\cdot 2^{n+3}=3^{2n+6}\cdot 2^{n+3}\). Тогда исходное выражение равно \(\displaystyle\frac{3^{2n+6}\cdot 2^{n+3}}{3^{2n+5}\cdot 2^{n-2}}=3^{2n+6-2n-5}\cdot 2^{n+3-n+2}=3\cdot 2^5=96\) Это авторский материал сайта www.itmathrepetitor.ru
22. Рыболов потратил на путь 3 часа (5 часов общего времени минус 2 часа собственно рыбалка на якоре). При движении против течения скорость лодки была 6-2=4 км/ч, при движении по течению реки скорость лодки была 6 + 2 = 8 км/ч. Если обозначить за \(S\) км расстояние от пристани до места стояния на якоре, то \(\displaystyle\frac{S}{8}+\frac{S}{4}=3\), откуда \(S+2S=24\) и \(S=8\) км. Задачи на движение с ответами и решениями можно найти здесь.
23. Сначала упростим функцию. Для этого разложим на множители числитель, воспользовавшись формулой разложения для квадратного трехчлена (смотрите здесь). Да, в числителе не квадратный трехчлен, но можно сделать замену \(t=x^2\), разложить на множители через \(t\), а затем вернуться к \(x\). В итоге, числитель принимает вид: \((x^2-9)(x^2-4)\). Это авторский материал сайта www.itmathrepetitor.ru
    К каждой скобке применим формулу разности квадратов: \((x-3)(x+3)(x-2)(x+2)\). В итоге, функция принимает вид \(y=(x+3)(x-2)\) или \(y=x^2+x-6\). Здесь можно допустить ошибку: не учесть, что при сокращении изменяется область определения функции (добавляются точки \(x=3\) и \(x=-2\)). И график, естественно, изменится. Поэтому к формуле \(y=x^2+x-6\) не забываем ограничения \(x\ne -2\), \(x\ne 3\). То есть теперь переход равносильный, и на графике по-прежнему будут две выколотые точки.
    График функции \(y=x^2+x-6\) представляет из себя параболу, ветви которой направлены вверх. Еще можно поискать корни, координаты вершины, точку пересечения с осью ординат и еще пару любых других точек для точности. На основании этих данных парабола легко строится.
    А можно вторым способом: представить уравнение параболы в виде \(y=(x+\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4}\) и осуществить построение сдвигом графика параболы \(y=x^2\). Подробности смотрите здесь. В итоге, перед нами график параболы с двумя выколотыми точками.
    Рассмотрим вторую часть задачи. Для ее решения запишем уравнение \(x^2+x-6=c\) и \(x\ne -2, x\ne 3\). Это уравнение с учетом ограничений должно иметь ровно один корень. Возможны случаи: а) уравнение имеет ровно один корень и он не равен \(-2\) и не равен \(3\); б) уравнение имеет два корня, но ровно один из них равен \(-2\) или \(3\). Смотрите подробную статью о том, как решать квадратные уравнения. Это авторский материал сайта www.itmathrepetitor.ru
    Случай а): дискриминант должен быть равен нулю. Поэтому  \(1+4(6+c)=0\), откуда \(c=-\frac{25}{4}\). Осталось проверить, что при таком \(c\) корень не \(-2\) и не \(3\). Случай б): подставляем в уравнение число \(-2\). Находим \(c\). И проверяем, что при таком \(c\) второй корень не был равен \(3\). Аналогично для числа \(3\).
24. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. А гипотенузу можно найти по теореме Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов). Кстати, если вы что-то ищете в треугольнике, себя всегда можно проверить здесь.
25. Продлим EC до пересечения с прямой AD в точке K. Треугольники CBE и EAD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (EB = EA, угол BEC равен углу KEA (вертикальные), угол EBC равен углу EAK (накрест лежащие)). Тогда EC = EK и BC = KA, но ВС = AD, поэтому AK = AD и EK = ED. То есть треугольник KED равнобедренный и EA – медиана, значит, EA – высота и угол EAD – прямой. Это авторский материал сайта www.itmathrepetitor.ru
26. Пусть точка О – центр окружности, точка P – точка касания окружности с прямой АС, точка М – точка касания окружности с прямой ВС. Тогда ОМ = ОР = 8 (это радиусы). Так как Р – середина АС, то РС = 6 и BP – высота и биссектриса треугольника АВС, более того, прямая ВР проходит через центр окружности.
    Соединим О и С и пусть угол СОМ равен \(\alpha\). Тогда угол ВОМ равен \(2\alpha\) и угол OBM равен \(90-2\alpha\). Из треугольника ОСМ \(\mathrm{tg}\alpha=\displaystyle\frac{CM}{OM}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\). Из треугольника BPC \(\cos PBC=\displaystyle\frac{PC}{BC}=\frac{6}{BC}\).
    Но существует формула (смотрите под номером 20 в справочнике), связывающая \(\cos 2\alpha\) и \(\mathrm{tg}\alpha\), поэтому \(\cos{2\alpha}=\displaystyle\frac{1-\frac{9}{16}}{1+\frac{9}{16}}=\frac{7}{25}\) и \(\displaystyle\frac{7}{25}=\frac{6}{BC}\), откуда \(BC=\displaystyle\frac{150}{7}\). Это авторский материал сайта www.itmathrepetitor.ru
    Тогда по теореме Пифагора из треугольника BPC находим BP = \(\displaystyle\frac{144}{7}\). И радиус вписанной окружности равен \(r=\displaystyle\frac{2S}{P}=\frac{12\cdot 144}{384}=\displaystyle\frac{9}{2}\).