Производная. Примеры решения задач (часть 1)
1. Найти производную функции \(y=x^3-2x^2+1\)
Решение
\(y’=(x^3-2x^2+1)’=(x^3)’-(2x^2)’+1’=3x^2-2(x^2)’+0=3x^2-4x\)
Ответ: \(y’=3x^2-4x\)
2. Найти производную функции \(y=\displaystyle\frac{3}{4x^4}+\frac{2}{3x^3}+x^2\)
Решение
\(y’=\left(\displaystyle\frac{3}{4x^4}+\frac{2}{3x^3}+x^2\right)’=\left(\displaystyle\frac{3}{4x^4}\right)’+\left(\displaystyle\frac{2}{3x^3}\right)’+\left(x^2\right)’=\left(\displaystyle\frac{3}{4}x^{-4}\right)’+\left(\displaystyle\frac{2}{3}x^{-3}\right)’+2x=\displaystyle\frac{3}{4}(x^{-4})’+\displaystyle\frac{2}{3}(x^{-3})’+2x=\displaystyle\frac{3}{4}(-4)x^{-5}+\displaystyle\frac{2}{3}(-3)x^{-4}+2x=-3x^{-5}-2x^{-4}+2x=-\displaystyle\frac{3}{x^5}-\displaystyle\frac{2}{x^4}+2x\)
Ответ: \(y’=-\displaystyle\frac{3}{x^5}-\displaystyle\frac{2}{x^4}+2x\)
3. Найти производную функции \(y=x^2\sin{x}\)
Решение
\(y’=(x^2\sin{x})’=(x^2)’\sin{x}+x^2(\sin{x})’=2x\sin{x}+x^2\cos{x}\)
Ответ: \(y’=2x\sin{x}+x^2\cos{x}\)
4. Найти производную функции \(y=\displaystyle\frac{x^2}{\cos{x}}\)
Решение
\(y’=\left(\displaystyle\frac{x^2}{\cos{x}}\right)’=\displaystyle\frac{(x^2)’\cos{x}-x^2(\cos{x})’}{\cos^2{x}}=\displaystyle\frac{2x\cos{x}+x^2\sin{x}}{\cos^2{x}}\)
Ответ: \(y’=\displaystyle\frac{2x\cos{x}+x^2\sin{x}}{\cos^2{x}}\)
5. Найти производную функции \(y=\sin^{4}{2x}\)
Решение
\(y’=(\sin^{4}2x)’=4\sin^{3}2x\cdot\cos{2x}\cdot2=8\sin^{3}2x\cos{2x}\)
Ответ: \(y’=8\sin^{3}{2x}\cos{2x}\)
