Единый государственный экзамен по МАТЕМАТИКЕ
Пробный ЕГЭ по математике 4 апреля 2018 года Вариант 1
Профильный уровень

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. На выполнение экзаменационной работы по математике отводится 3 часа 55 минут. Ответы к заданиям 1–12 записываются по приведённому ниже образцу в виде целого числа или конечной десятичной дроби. При выполнении заданий 13–19 требуется записать полное решение.

Ответом на задания 1-12 является целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую цифру, знак «минус» и десятичную запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приведенными в бланке образцами. Единицы измерений писать не нужно.

Для записи решений и ответов на задания 13-19 используйте бланк ответов № 2. Запишите сначала номер выполняемого задания, а затем полное обоснованное решение и ответ.

Условия задач

1. Одна таблетка лекарства весит 70 мг и содержит 4% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,05 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте пяти месяцев и весом 8 кг в течение суток?

2.  При работе фонарика батарейка постепенно разряжается и напряжение в электрической цепи фонарика падает. На графике показана зависимость напряжения в цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси отмечено время работы фонарика в часах, на вертикальной оси — напряжение в вольтах. Определите по рисунку, за сколько часов напряжение упадёт с 1,2 вольта до 1 вольта.

3.  На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 12. Найдите площадь закрашенной фигуры.

4.  В классе 16 учащихся, среди них два друга — Вадим и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Сергей окажутся в одной группе.

5.  Решите уравнение \(\log_42^{8x+8}=4\)

6.  Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 98°, угол CAD равен 44°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

7.  На рисунке изображён график \(y=f'(x)\) — производной функции \(y=f(x)\), определённой на интервале (−4; 6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции \(y=f(x)\) параллельна прямой \(y=3x\) или совпадает с ней.

8.  Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, C, A1, B1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1. Площадь основания призмы равна 9, а боковое ребро равно 4.

9.  Найдите значение выражения \(7\sqrt{2}\cdot\sin\displaystyle\frac{15\pi}{8}\cos\frac{15\pi}{8}\)

10.  www.itmathrepetitor.ru Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием f = 45 см. Расстояние d₁ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 50 см до 70 см, а расстояние d₂ от линзы до экрана — в пределах от 200 см до 270 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение \(\displaystyle\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{f}\). На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

11. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в город В на 2 часа раньше, чем велосипедист приехал в город А, а встретились они через 1 час 20 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из города В в город А велосипедист?

12.  Найдите наименьшее значение функции \(y=e^{2x}-8e^x+9\) на отрезке \([0;2]\).

13. а) Решите уравнение \(\sin(\frac{7\pi}{2}+x)+2\cos2x=1\)

б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие отрезку \([3\pi;4\pi]\).

14.  В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD сторона основания ABCD равна 12, боковое ребро PA ― \(12\sqrt{2}\). Через вершину A проведена плоскость \(\alpha\), перпендикулярная прямой PC и пересекающая ребро PC в точке K.

а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) делит высоту PH пирамиды PABCD в отношении 2:1, считая от вершины P.

б) Найдите расстояние между прямыми PH и BK.

15.  Решите неравенство \(\log_{x^2+1}\displaystyle\frac{2\cdot4^x-15\cdot2^x+23}{4^x-9\cdot2^x+14}\ge0\)

16.  Угол BAC треугольника ABC равен \(\alpha\). Сторона BC является хордой окружности с центром O и радиусом \(R\), проходящей через центр окружности, вписанной в треугольник ABC.
а) Докажите, что около четырёхугольника ABOC можно описать окружность.
б) Известно, что в четырёхугольник ABOC можно вписать окружность. Найдите радиус \(r\) этой окружности, если \(R=6\), \(\alpha=60^o\) .

17.  Светлана Михайловна взяла кредит в банке на 4 года на сумму 4 420 000 рублей. Условия возврата кредита таковы: в конце каждого года банк увеличивает текущую сумму долга на 10%. Светлана Михайловна хочет выплатить весь долг двумя равными платежами ― в конце второго и четвертого годов. При этом платежи в каждом случае выплачиваются после начисления процентов. Сколько рублей составит каждый из этих платежей?

18.  Найти все такие значения параметра a, при каждом из которых уравнение \(2\sin x+\cos x=a\) имеет единственное решение на отрезке \([\pi/4;3\pi/4]\).

19. Назовем натуральное число хорошим, если в нем можно переставить цифры так, чтобы получившееся число делилось на 11.

а) Является ли число 1234 хорошим?

б) Является ли число 12345 хорошим?

в) Найти наибольшее хорошее число, состоящее из различных нечетных цифр.

смотрите также ЕГЭ Демо 2018 Профильный уровень

Ответы