ЕГЭ 2014 Перспективная модель

10 класс

B1. Найдите значение выражения \(-\displaystyle\frac{8}{\sin^248^o+\sin^2138^o}\)

B3. Симметричную монету бросили дважды. Известно, что при одном из бросков выпал орел. Найдите вероятность того, что при другом броске выпала решка. При необходимости ответ округлите до сотых.

B4. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12. Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины прямого угла.

B5. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка О – центр основания, S – вершина, SO = 12, BD = 10. Найдите боковое ребро SA.

B7. Заказ на 165 деталей первый рабочий выполняет на 4 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый делает за час на 4 детали больше?

B8. Найдите точку минимума функции \(y=x^3-3x^2+17\)

С1. а) Решите уравнение \(4\cos^4 x-\cos 2x-1=0\)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие интервалу \(\left(-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right)\)

С2. На ребре AA₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ выбрана точка К так, что КА = 7 и КА₁ = 2. Постройте сечение куба плоскостью CD₁K и найдите его площадь.

С3. а) Решите неравенство \(x+\frac{24}{x+7}\geq 7\);

б) Решите неравенство \(\sqrt{x+5,2}+\frac{1}{\sqrt{1+5,2}}\geq\frac{5}{2}\)

в) Найдите все решения второго неравенства, не являющегося решениями первого.

С4. В треугольник АВС вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причем AD = R. а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный; б) Вписанная окружность касается сторон АВ и ВС в точках Е и F. Найдите площадь треугольника BEF, если известно, что R = 2 и CD = 10.

С5. Фермер взял в банке кредит на сумму 3640000 рублей под 20% годовых. Схема погашения кредита: раз в год клиент должен выплачивать банку одну и ту же сумму, которая состоит из двух частей. Первая часть составляет 20% от оставшейся суммы долга, а вторая часть направлена на погашение оставшейся суммы долга. Каждый следующий год проценты начисляются только на оставшуюся сумму долга. Какой должна быть ежегодная сумма выплаты (в рублях), чтобы фермер полностью погасил кредит тремя равными платежами?

С6. Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \(x^2+(1-a)^2=|x-1+a|+|x-a+1|\) имеет единственный корень

С7. а) Приведите пример такого натурального числа \(n\), что числа \(n^2\) и \((n+16)^2\) дают одинаковый остаток при делении на 200;

б) Сколько существует трехзначных чисел \(n\) с указанным в пункте а) свойством?