Олимпиадные задачи по математике. Подборка задач для школьников
- В свежих ягодах содержится 99% воды. Когда ягоды высушили, воды в них осталось 98%. Во сколько раз уменьшился вес ягод после сушки?
- Про некоторую компанию людей известно, что каждый человек из компании знаком в ней ровно с 8 людьми, и для любой группы из 8 человек этой компании найдется такой человек в компании, который знаком с каждым из этих 8 человек. Сколько человек в компании?
- На доске записаны числа 12 и 56. Разрешается дописывать на доску новые числа, равные сумме, разности или произведению любых двух (по вашему выбору) уже имеющихся на доске чисел. Можно ли таким способом получить на доске число 1998?
- Для нумерации страниц в книге понадобилось 1000 цифр. Сколько страниц в книге, если нумерация начинается с третьей страницы, которая нумеруется цифрой 3?
- Дана куча камней (веса камней не обязательно равные). Известно, что все камни этой кучи можно разложить как на 5 равных по весу кучек, так и на 6 равных по весу кучек (кучка может состоять и из одного камня). Какое наименьшее число камней может быть в такой куче?
- Можно ли в клетках таблицы 3 х 3 расставить числа 0, 1, 2 (в каждой клетке – одно число) так, чтобы все шесть сумм чисел в строках и столбцах таблицы были попарно различны?
- Имеется 5 одинаковых по виду монет, среди которых две фальшивые, а три настоящие. Известно, что настоящие монеты весят одинаково и что одна из фальшивых монет легче, а другая – тяжелее настоящей монеты. Как при помощи трех взвешиваний на чашечных весах без гирь найти фальшивые монеты?
- Для наполнения бассейна используют несколько одинаковых труб. Если бы таких труб было в два раза больше, то бассейн можно было бы наполнить на 5 часов раньше, а если бы таких труб было больше на 2, то бассейн можно было бы наполнить за 6 часов. Сколько труб используют для наполнения бассейна?
- Решить уравнение \((8x+7)^2(4x+3)(x+1)=4,5\)
- Докажите, что ни при каком целом \(x\) число \(x^2+x+1\) не делится на 9.