Олимпиадные задачи по математике. Подборка задач для школьников
- На доске написаны числа 1, 2 и 4. Разрешается стереть с доски два числа \(a\) и \(b\), а вместо них записать числа \(\frac{a+b}{\sqrt{2}}\) и \(\frac{a-b}{\sqrt{2}}\). Можно ли с помощью таких операций получить на доске числа \(\sqrt{2}\), \(2\sqrt{2}\) и 3?
- По кругу записано 100 чисел, каждое из которых равно среднему арифметическому своих соседей. Докажите, что все 100 чисел равны.
- Докажите, что простых чисел бесконечно много.
- Может ли дискриминант квадратного трехчлена с целыми коэффициентами равняться 23?
- Можно ли доску 10 х 10 разрезать на прямоугольники 4 х 1?
- Числа \(a\) и \(b\) удовлетворяют равенству \(\frac{a^2b^2}{a^4-2b^4}=1\). Найдите все возможные значения выражения \(\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\).
- Назовем натуральное число особым, если оно представимо в виде \(m^2+2n^2\), где \(m\) и \(n\) — целые числа. Докажите, что произведение двух особых чисел также особое число.
- В левом нижнем углу доски 7×7 клеток стоит фишка. Два игрока по очереди передвигают фишку на одну из соседних по стороне клеток. Проигрывает тот игрок, после хода которого фишка попадает в клетку, где она уже побывала. Кто выигрывает при правильной игре?
- У Васи есть три банки с красками разного цвета. Сколькими различными способами он может покрасить забор, состоящий из 10 досок, так, чтобы любые 2 соседние доски были разных цветов и при этом он использовал краски всех трех цветов?
- У Пети есть волшебная палочка, способная создавать любой предмет, но только в единственном экземпляре. Срочно нужно десять одинаковых кирпичей. Что делать?