Олимпиадные задачи по математике. Подборка задач для школьников
-
Найдите сумму всех четных натуральных чисел, не превосходящих 1000 и не кратных 5.
-
На клетчатой бумаге отмечены 100 вершин соседних клеток, расположенных в одном ряду клеток (то есть получилось два ряда из 50 точек каждый). Найдите число равнобедренных треугольников с вершинами в отмеченных точек.
- Про действительное число \(x\) высказаны следующие утверждения: 1) \(x\) – целое число; 2) \(x+\frac{1}{x}\) – целое число; 3) \(x^2+\frac{1}{x^2}\) – целое число; 4) \(x^2-4x\) – целое число. Известно, что из этих утверждений ровно три верны. Найдите все такие \(x\)
- Найдите все значения \(a\), при которых квадратное уравнение \(x^2-3(a-1)x+9a-8=0\) имеет такие корни \(x_1, x_2\), а уравнение \(x^2-3(a-2)x-32=0\) – такие корни \(x_3, x_4\), что числа \(x_1, x_2, x_3, x_4\) образуют геометрическую прогрессию.
- Шары одинакового радиуса расположили один раз в форме правильного треугольника, а другой – в форме прямоугольника. Найдите количество шаров, если и на стороне треугольника, и на большей стороне прямоугольника располагается на 2 шара больше, чем на меньшей стороне прямоугольника.
- Пусть \(a, b, c, d, e\) – действительные числа такие, что \(ab=2, bc=3, cd=4\) и \(de=5\). Найдите \(\frac{e}{a}\)
- Два квадрата со стороной 1 имеют общую вершину, и сторона одного квадрата лежит на диагонали второго. Найдите площадь общей части квадратов.
- Поезд состоит из пяти пронумерованных вагонов, расположенных за локомотивом. Сколько существует различных способов соединить вагоны так, чтобы первый вагон был ближе к локомотиву, чем второй вагон?
- Числа 1, 2 и 3 записали по кругу. Затем между каждыми двумя соседними числами записали их сумму. Получилось шесть чисел (1, 3, 2, 5, 3, 4), записанных по кругу. Эту операцию повторили еще четыре раза. В результате получилось 96 чисел. Чему равна их сумма?
- Петя вычеркнул одно из десяти последовательных натуральных чисел. Сумма оставшихся чисел оказалась равна 2006. Какое число вычеркнул Петя?